9.1 概 述Introduction第第九九章章 矩阵位移法矩阵位移法1. 概述结构矩阵分析是采用矩阵方法分析结构力学问题的 一种方法。与传统的力法、位移法相对应，结构矩阵分 析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。 矩阵位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。矩阵位移法是以结点位移为基本未知量，借助矩阵 进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等 的方法。手算怕繁、电算怕乱。但由于有时考虑杆件的轴向变形，且把杆件铰结端的 转角也作为基本未知量，因此，基本未知量数目比传统位 移法的基本未知量多一些。理论基础：位移法 分析工具：矩阵 计算手段：计算机 2. 矩阵位移法的基本思路集合离散结构（有限）单元分析整体分析形成单元刚度矩阵； 建立单元刚度方程。形成结构刚度矩阵； 建立结构刚度方程。单元杆端力、支座反力结点位移分量矩阵形式的单元 转角位移方程 （满足物理关系）矩阵形式的位移法 基本方程 （满足平衡条件、 变形协调条件）3. 要解决的问题整体分析：研究结构整体的平衡条件、平衡方程的 组成规律和求解方法。编制程序：根据矩阵位移法的分析原理，绘制程序 运行框图并选择一种计算机语言给予实现，又称为 程序设计。离散化：确定坐标、单元编码、结点编码（总体码 和局部码）、位移分量编码（总体码和局部码）单元分析：研究单元的力学特性，建立单元杆端力 和杆端位移的关系。9.2 单元分析Element analysis第第九九章章 矩阵位移法矩阵位移法1. 结构的离散化将一个在荷载作用下的连续结构划分成若干个各自 独立的单元，单元之间由结点连接，用此计算模型模拟 原结构的受力和变形特性。模型和原结构是有差别的，这个差别可以通过单元 的适当选取予以降低。主要工作：单元的划分；体系的数字化。单元应为等截面直杆，一根杆件可以划分为一个或 几个单元，但是一根桁架杆只能作为一个单元。 （1）结点编码、单元编码1234 5 678910FPxyO结构中一般的构造结点如杆 件的转折点、汇交点、支承点、 变截面处应作为结点，而非构造 结点，如集中荷载作用点也可以 作为结点处理。 整体坐标系（结构坐标系）：为研究结构整体平衡条件和变形协调 条件而建立的统一的公共坐标系。整体坐标系一般采用右手系，以 水平方向为 x 轴。 结点编码的目的：一是确定结构的空间位置和结构形状；二 是确定所计算结构总的未知数数目。结点编码对于连接多个单元的刚结点以及仅连接桁架单元的铰结点， 一个结点可以采用一个结点号；否则，应在此处将彼此刚结的点 编一个结点号，而非刚结的单元杆端须编另外的结点号。 原则：相关结点（结点之间有 杆件相连）的编码要尽可能的 接近。以减少总刚度矩阵的带 宽，节约计算机存储空间。汇交于结点的所有单元，称为 结点的相关单元。 单元编码的目的：确定每一个单元（杆件）在整个结构中的 相应位置。单元编码单元编码方式对计算结果没有影响。 对于大型结构一般按 照单元的类型进行编 码，同一类型的单元 连在一起编码。 123101112456789159481226103711结点 编码练习：12310111245678913（2）结点位移编码结点位移的统一编码 整体码用矩阵位移法进行结构分析时，基本未知量是结点位移， 这就需要将结构中全部结点位移分量进行统一编码。矩阵位移法基本未知量的确定：矩阵位移法基本未知量的确定不是唯一的，它与单元如何 划分，是否考虑轴向变形以及如何编写程序有关。 按照结点编码顺序进行； 同一结点按照 x y 顺序进行； 平面梁每个结点只有两个独立的位移分量； 平面桁架每个结点只有2个独立的位移分量； 平面刚架每个结点只有3个独立的位移分量； 相同的结点位移应编成同一个号码。编码时要考虑以下因素： 位移边界条件的处理根据引入边界条件的先后，形成总刚度矩阵的方法分为先处理法和后处理法。同一结构采用后处理法或先处理法计算，基本未知 量的数目是不同的，因此结点位移分量的编码方法也不相同。后处理法是在形成结构原始刚度矩阵之后引入位移边界条件。对所有的结点位移分量按照结点编码进行自然数顺序编码，包括已 知位移和未知位移分量。先处理法是在形成结构总刚度方程之前，已引入了位移边界条件和特定的位移关系。仅对未知的结点位移分量进行自然数顺序编 码，而对那些已知的结点位移分量，编码均取为0。 1（1,2）3（5,6）4（7,8）2（3,4）1（0,0）3（2,3）4（4,5）2（1,0） 结构变形情况同一结构在同时考虑杆件弯曲变形、轴向变形和只考虑弯曲变形 而不计直杆轴向变形两种情况下，结点编码完全相同，但是结点位移 分量的编码却不相同。不计直杆轴向变形时，未知的结点位移分量数 目要少一些。 练习：先处理法、考虑轴向变形，完成结点 位移分量编码。12310111245678913参考答案：1(1,0,0)2(2,3,4)3(5,6,7 )10(17,18,19) 11(17,18,20 )12(17,18,21)4(0,0,8)5(9,10,11)6(9,10,12)7(13,14,15)8(13,14,16)9(0,0,0)13(22,23,24)杆端位移分量的编码 局部码 i j ；x y 轴力单元：14；一般单元：16。3(5,6,7)8(13,14,16)ije1(1,2,3)2(4,5,6)ij2. 单元分析建立单元的杆端力和杆端位移之间关系的过程称 单元分析，形成的方程称单元刚度方程。不同类型的单元通常具有不同的单元刚度方程形 式，但总的思想不变。按照单元的受力情况，可将单元分为刚架单元和 桁架单元。其中，刚架单元以弯曲变形为主，产生轴 力、剪力和弯矩；桁架单元只发生轴向变形，故只存 在轴力。 局部坐标标系（单单元坐标标系）：进进行某一单单元的单单元分析时时 所建立的坐标标系。局部坐标系相对于整体坐标系的方位角用表示。的方向以 x 轴向 x 轴逆时针转动为正。即便在一个结构中，各单元的局部 坐标系也不完全相同。 （1）单元杆端力和杆端位移的表示方法eO， 符号规定：杆端力、杆端位移与局部 坐标系正方向一致时为正（2）单元刚度矩阵eeeOeeOeeOee局部坐标系下的单元刚度方程 局部坐标系下的单元刚度矩阵（3）单元刚度矩阵的性质与特点 第 j 列元素的物理意 义：第 j 号杆端位移沿 其正向发生单位位移， 而其它杆端位移均为 0 时，该单元全部杆端力 的大小。 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6) 元素 kij 的物理意义： 单位杆端位移引起的杆 端力。 局部坐标系下的单元刚度 矩阵只与单元本身的属性， 如单元长度、材料弹性模量 、横截面面积、横截面惯性 矩等有关 。 单元刚度矩阵是对称方 阵，这一点可由反力互等定 理得到证明。 一般单元的单元刚度矩阵是 奇异矩阵，不存在逆矩阵。因 此，已知杆端位移可以确定杆 端力，而已知杆端力则不能确 定杆端位移；梁单元的单元刚 度矩阵是非奇异的。 单元刚度矩阵可以用子块 形式表示： （4）特殊单元不计轴向变形的刚架单元： 梁式单元： 桁架单元： 3. 坐标转换（1）问题的提出xyOxyO？（2）坐标转换（刚架单元）exex单元 的坐标转换矩阵e坐标转换矩阵是一个正交矩阵（2）坐标转换（桁架单元）ex（2）坐标转换（桁架单元）ex（3）整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的 单元刚度矩阵整体坐标系下的 单元刚度方程坐标转换例题例：求整体坐标系下的单元刚度矩阵。其中 l = 2m， EA = 1.2106kN。ll124312单元 0单元 45 下一步做什么？在建立单元刚度方程的基础上，要通过 结点平衡得到结构的整体平衡方程 整体 分析。谢 谢 !2006.8