专业课考研复习资料（最新版）专业课考研复习资料（最新版）（知识点汇总（知识点汇总-考研重点集合考研重点集合-精准预测再现）精准预测再现）封封面面Universal Law of Electromagnetic Phenomenon第一章第一章 电磁现象的普遍规律电磁现象的普遍规律主要内容：主要内容：本章重点：从特殊到一般，由一些重要的实验定律及一些本章重点：从特殊到一般，由一些重要的实验定律及一些本章重点：从特殊到一般，由一些重要的实验定律及一些本章重点：从特殊到一般，由一些重要的实验定律及一些 假设总结出麦克斯韦方程。假设总结出麦克斯韦方程。假设总结出麦克斯韦方程。假设总结出麦克斯韦方程。本章难点：电磁场的边值关系、电磁场能量。本章难点：电磁场的边值关系、电磁场能量。本章难点：电磁场的边值关系、电磁场能量。本章难点：电磁场的边值关系、电磁场能量。主要内容：主要内容：主要内容：主要内容：讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程；讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程；找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程；找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程；讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程；讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程；给出求解麦氏方程的边值关系；给出求解麦氏方程的边值关系；引入电磁场能量、能流并讨论电磁能量的传输。引入电磁场能量、能流并讨论电磁能量的传输。第一节第一节 电荷和电场电荷和电场一、库仑定律一、库仑定律库仑定律是静电现象的基本实验定律。是描写真空中两个静止的点电荷库仑定律是静电现象的基本实验定律。是描写真空中两个静止的点电荷 Q 和和 Q 之间相互作用力的定律。其中之间相互作用力的定律。其中 Q 受到的作用力为受到的作用力为:(1.1)3 04QQ rFr（Coulombs law )zxyoq xxr q式中式中rxx表示表示q 到到q的径矢。的径矢。库仑定律只是从现象上给出两电荷之间作用力的大 小和方向。有如下两种物理解释库仑定律只是从现象上给出两电荷之间作用力的大 小和方向。有如下两种物理解释:注意注意:1. 两电荷之间的作用力是超距作用，即一个电荷把两电荷之间的作用力是超距作用，即一个电荷把2. 相互作用是通过电场来传递的，而不是直接的超相互作用是通过电场来传递的，而不是直接的超结论：结论：a.静电时，两种描述是等价的。静电时，两种描述是等价的。b.在运动电荷时，特别是在电荷发生迅变时，实践作用力直接施加于另一电荷上；距作用。证明通过场来传递相互作用的观点是正确的。在运动电荷时，特别是在电荷发生迅变时，实践作用力直接施加于另一电荷上；距作用。证明通过场来传递相互作用的观点是正确的。二、电场和电场强度二、电场和电场强度1.电场：电荷周围的空间存在着一种特殊的物质，称为电场。 两个电荷之间的相互作用力本质上是电荷激发的电场对另一个 电荷施加作用力。电场：电荷周围的空间存在着一种特殊的物质，称为电场。 两个电荷之间的相互作用力本质上是电荷激发的电场对另一个 电荷施加作用力。2.电场强度：我们用一个单位试验电荷在场中所受的力来定义 电荷在点电场强度：我们用一个单位试验电荷在场中所受的力来定义 电荷在点 x 上的电场强度上的电场强度 E 。(1.2)由库仑定律，一个静止电荷由库仑定律，一个静止电荷Q所激发的电场强度为所激发的电场强度为(1.3)/qEF3 04Q rrEElectric Field and its intensity3. 电场具有叠加性。即多个电 荷所激发的电场等于每个电荷 所激发的电场的矢量和。电场具有叠加性。即多个电 荷所激发的电场等于每个电荷 所激发的电场的矢量和。a.电荷不连续分布时，总电场 强度是电荷不连续分布时，总电场 强度是:(1.4)b.电荷连续分布在某一区域内时，电荷连续分布在某一区域内时，(1.5)3 04i iiiQ r rE3 0()d4Vr x rEP点电场强度为点电场强度为三、高斯定理和电场的散度三、高斯定理和电场的散度1.高斯定理高斯定理（Gauss（Gauss theorem) theorem) 高斯定理是讨论闭合曲面上电场强度高斯定理是讨论闭合曲面上电场强度E的通量。在点电荷 场中，设的通量。在点电荷 场中，设 S 表示包围着点电荷表示包围着点电荷 Q 的一个闭合面，的一个闭合面，dS 为为S 上的定向面元，以外法线方向为正。上的定向面元，以外法线方向为正。SQrEdd SdS SSrQSrSEd41d3 0 SSrQrdcos 413 0 SSrQdcos 412 0 所以：所以：(1.6)如果点电荷如果点电荷 Q 在在 S 面外，则需要说明的是，当封闭曲面面外，则需要说明的是，当封闭曲面S内的总电荷内的总电荷Q=0时，但不能由此得出时，但不能由此得出S面上各点的场强面上各点的场强0E穿入的情况。从物理上说穿入的情况。从物理上说, 因为因为E是由封闭面是由封闭面S内、外所有电荷激发的场强的矢量和。的结论。从数学上说，是总通量为零，有可能是场线既有穿出又有内、外所有电荷激发的场强的矢量和。的结论。从数学上说，是总通量为零，有可能是场线既有穿出又有 SSrSQ2 0d 41dSE SQd410 SQ d4100dSSE0dSSE0dQSSE0dSSE讨论：讨论：a.当区域内有多个点电荷时当区域内有多个点电荷时(1.6)b.当区域内电荷连续分布时当区域内电荷连续分布时(1.7)注意积分区域注意积分区域 S 和和V 的对应关系。的对应关系。结论：结论：闭合面的闭合面的E通量与通量与V 外的电荷分布无关。外的电荷分布无关。这就是高斯定理的积分形式。这就是高斯定理的积分形式。iiSQ 01dSE VSVd1d0SE2.电场的散度电场的散度将高斯公式将高斯公式:代入（代入（1.7）式得：）式得：(1.8)这就是高斯定理的微分形式。它是电场的一个微分方程。 上式指出：电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止 于负电荷。在没有电荷的地方，电场线是连续的。这就是高斯定理的微分形式。它是电场的一个微分方程。 上式指出：电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止 于负电荷。在没有电荷的地方，电场线是连续的。0( )( ) xE x（divergence of electrostatic field) )01dd VVVVE当积分区域无限缩小，直至只包围一点时，上式等价于：当积分区域无限缩小，直至只包围一点时，上式等价于：01ddVVE所以所以 VSVddESE式（式（1.8）还反映了电荷对电场作用的局域性质：空间某点 邻域上场的散度只和该点上的电荷密度有关，而和其他地 点的电荷分布无关。电荷只直接激发其邻近的场，而远处 的场则是通过场本身的内部作用传递出去的。）还反映了电荷对电场作用的局域性质：空间某点 邻域上场的散度只和该点上的电荷密度有关，而和其他地 点的电荷分布无关。电荷只直接激发其邻近的场，而远处 的场则是通过场本身的内部作用传递出去的。四、静电场的旋度四、静电场的旋度要确定一个矢量场，还需要给出其旋度。要确定一个矢量场，还需要给出其旋度。计算一个点电荷计算一个点电荷Q所激发的电场所激发的电场E对任一闭合回路对任一闭合回路L的环量，由库仑定理得的环量，由库仑定理得 LLrQlrlEd4d3 0设设dl与与r的夹角为的夹角为，上式最 终为右边被积函数是一个全微分。 沿，上式最 终为右边被积函数是一个全微分。 沿L回路积分为零。所以：回路积分为零。所以：(1.9) LLrrQ2 0d 4dlE LrQ1d400d LlE即：即：则由面积元的任意性得则由面积元的任意性得(1.10)这就证明了静电场的无旋性。实践证明，无旋性只在静电场 的情况下成立。这就证明了静电场的无旋性。实践证明，无旋性只在静电场 的情况下成立。0)(xE小结：小结：（1.8）和）和(1.10)给出了静电场的散度和旋度，它们表示电荷 激发电场以及电场内部联系的规律性，是静电场的基本规律。 它们反映的物理图像是：电荷是电场的源，电场线从正电荷 发出而终止于负电荷，在自由空间中电场线连续通过；在静 电情形下电场没有旋涡状结构。给出了静电场的散度和旋度，它们表示电荷 激发电场以及电场内部联系的规律性，是静电场的基本规律。 它们反映的物理图像是：电荷是电场的源，电场线从正电荷 发出而终止于负电荷，在自由空间中电场线连续通过；在静 电情形下电场没有旋涡状结构。0d)(dSLSxElE例：电荷例：电荷Q均匀分布于半径为均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度，解：作半径为的球体内，求各点的电场强度，解：作半径为r的球的球(与电荷球体同心与电荷球体同心)。由对称性，在球面上 各点的电场强度有相同的数值。由对称性，在球面上 各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向。当，并沿径向。当ra时，球面 所围的总电荷为时，球面 所围的总电荷为Q，由高斯定理得因而，写成矢量式得，由高斯定理得因而，写成矢量式得(1.11)2 04QEr3 0.4Q rrE()ra并由此直接计算电场强度的散度。并由此直接计算电场强度的散度。024dQEr SSE若若ra时时E应取应取(1.11)式，在这个式，在这个3 33 3344 334/3QQrrraa3 0.4Q arE()ra30,(0)rrr区域区域 r0，由直接计算可得，由直接计算可得3 03 24daQrEr SSE因而，当因而，当ra时，通过圆内的总电流为时，通过圆内的总电流为I，用安培环路定理得由对称性，在圆周各点的磁感应强度有相同数值，并沿圆磁场强度，并由此计算磁场的旋度。，用安培环路定理得由对称性，在圆周各点的磁感应强度有相同数值，并沿圆磁场强度，并由此计算磁场的旋度。IrB L02dlB周环绕方向。周环绕方向。(2) 若若ra)22 02daIrrB LlB用柱坐标的公式求磁场的旋度：用柱坐标的公式求磁场的旋度：(1) 当当ra时由我们求出的时由我们求出的B得出得出(2) 当当ra)(rR0）处有一点电荷）处有一点电荷Q，求空间各点的电势（如图）。例，求空间各点的电势（如图）。例2Q解： 电荷分布：一个点电荷。边界面：导体球面。求解区域：球面外区域。已知电荷分布和界面电势解： 电荷分布：一个点电荷。边界面：导体球面。求解区域：球面外区域。已知电荷分布和界面电势(等于零等于零)，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。电荷分布和电场分布：点电荷电荷分布和电场分布：点电荷Q使导体表面产生异号的感应电荷。整个电场是由使导体表面产生异号的感应电荷。整个电场是由Q和感应电荷共同产生的。由于导体表面是等势面，所以电场线垂直于导体表面，而且电场具有轴对称性。设用来代替感应电荷的假想电荷为和感应电荷共同产生的。由于导体表面是等势面，所以电场线垂直于导体表面，而且电场具有轴对称性。设用来代替感应电荷的假想电荷为Q。问题是：。问题是：Q应该放在什么位置？电量是多少？应该放在什么位置？电量是多少？+Q根据电场的轴对称性，根据电场的轴对称性，Q必在对称轴上，即在必在对称轴上，即在Q到球心的连线上。设到球心的连线上。设Q到球心的距离为到球心的距离为b，以球心为坐标原点，对称轴为，以球心为坐标原点，对称轴为Z轴建立球坐标系，球外空间的电势为：轴建立球坐标系，球外空间的电势为： rQ rQP041 该式在导体表面应满足边界条件：该式在导体表面应满足边界条件：0 0 RR解：解：考虑球面上任一点