第五章 大数定律及中心极限定理1 大数定律2 中心极限定理退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理1 大数定律大数定律的定义切比晓夫大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律退 出前一页后一页目 录1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理问题：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的次数足够多，总可以达到要求的精度？我们把这问题给出数学表达：这里反映了什么样的客观统计规律呢？如果工件的真值为退 出前一页后一页目 录1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理即大量测量值的算术平均值具有稳定性。这就是大数定律所阐述的。测量的经验就是：退 出前一页后一页目 录1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理定义1若对任意想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列 收敛性的区别。一、定义退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理定义2 对任意1 大数定律退 出前一页后一页目 录1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理定理1回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性。退 出前一页后一页目 录1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理定理2（契比雪夫大数定律）且数学期望存在退 出前一页后一页目 录它们的方差有界，即存在常数 使1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理由切比晓夫不等式得：证：思考：能否把定理中独立性条件减弱？退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理定理3（伯努利大数定律）(Bernoulli大数定律)证：令1 大数定律退 出前一页后一页目 录表示n重伯努利试验中事件A出现的次数第五章 大数定律及中心极限定理由定理2有该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义。1 大数定律退 出前一页后一页目 录1 大数定律第五章 大数定律及中心极限定理注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。定理4（辛钦大数定律）且具有数学期望思考：比较辛钦大数定律与切比晓夫大数定律条件的 差别及强弱。退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理2 中心极限定理定义独立同分布的中心极限定理德莫佛-拉普拉斯定理用频率估计概率时误差的估计退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理一、定义退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理定理1 （独立同分布的中心极限定理）中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也 是统计学中处理大样本时的重要工具。二、中心极限定理退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理由定理1有结论成立。定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）(De Moivre-Laplace)证明：由二项分布和两点分布的关系知其中 相互独立且都服从于两点分布，且2 中心极限定理退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理推论：说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率 计算方法。 退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理例1 车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。设至少要供给这个车间 r 千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。由题意有解： 记某时刻工作着的车床数为X，则 X B(200,0.6).退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理 用频率估计概率时误差的估计： 由上面的定理知用这个关系式可解决许多计算问题。退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理第一类问题是第二类问题是问最少应做多少次试验？这时只需求满足下式的最小的 n,第三类问题是退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理例2 今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？ 解：由德莫佛-拉普拉斯定理 退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理故近似地有退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理良种粒数X的范围为退 出前一页后一页目 录2 中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理例3 系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。解：由德莫佛-拉普拉斯定理有XB(100,0.1)。则整个系统能正常工作当且仅当设X是损坏的部件数，退 出前一页后一页目 录第五章 大数定律及中心极限定理例4 一加法器同时收到20个噪声电压， 设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上 服从均匀分布，记 2 中心极限定理退 出前一页后一页目 录一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量 是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千 克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中 心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保 障不超载的概率大于0.977。例5解： 设最多可装 n 箱，保障不超载的概率大于0.977。由中心极限定理有第五章 大数定律及中心极限定理2 中心极限定理退 出前一页后一页目 录例5（续）因此最多可装 98 箱，保障不超载的概率大于0.977。第五章 大数定律及中心极限定理退 出前一页后一页目 录1) 了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛 钦大数定律，了解切比晓夫大数定律。第五章 小 结要求：1)大数定律的定义，贝努里、辛钦大数定律，切比晓夫大数定律；主要内容：2)中心极限定理的定义，独立同分布的中心极限理和德莫佛-拉普拉斯定理及应用。 2) 理解中心极限定理的含义及其客观背景，要掌 握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普拉斯定理， 会利用中心极限定理解决一般实际应用问题。退 出前一页后一页目 录