第第3535讲讲 数列求和数列求和1新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞1.熟练掌握等差、等比数列的求和 公式.2.掌握非等差、等比数列求和的几 种常见模型与方法.2新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞1.若数列an为等比数列，S5=10,S10=50,则 S15= .2102.若an=1+2+n，则数列 的前n项和 Sn= .因为an=1+2+n= ,所以 = =2( - ),故Sn=2(1- )+( - )+( - )= .3新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞3.数列1 ，3 ，5 ，7 ，的前n项和Sn= .n2+1- S=(1+3+5+2n-1)+( + + )=n2+1- .4新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞4.已知数列an的前n项和Sn=1-3+5- 7+(-1)n-1(2n-1)(nN*)，则 S2008+S2009+S2010=（ ）BA.-2008 B.-2009C.2009 D.20105新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞当n=2k(kZ)时，Sn=(1-3)+(5-7)+(2n-3)-(2n-1)=k(-2)=-n.当n=2k-1(kZ）时，Sn=1+(-3)+5+(-7)+9+-(2n-3)+(2n-1)=1+（k-1）2=n.n (n为奇数）-n (n为偶数）,所以S2008+S2009+S2010=-2008+2009-2010=-2009.所以Sn=6新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞5.设f(x)= ，则f(x)+f(1-x)= ，并利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,求得f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为 .7新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞f(x)+f(1-x)= + = + = + = = .又设S=f(-5)+f(-4)+f(6),则S=f(6)+f(5)+f(-5),所以2S=f(6)+f(-5)+f(5)+f(-4)+f(-5)+f(6).所以2S=12 =6 ,所以S=3 .8新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞1.公式法常用的公式有： (1)等差数列an的前n项和Sn= = .(2)等比数列an的前n项和Sn= = (q1).(3)12+22+32+n2= .(4)13+23+33+n3= .na1+ dn(n+1)(2n+1)n2(n+1)29新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞2.倒序相加法将一个数列倒过来排序，它与原数列相 加时，若有公因式可提，并且剩余的项易于 求和，则这样的数列可用倒序相加法求和.3.分组转化法分析通项虽不是等差或等比数列，但它 是等差数列和等比数列的和的形式,则可进 行拆分，分别利用基本数列的求和公式求和 ，如求n(n+1)前n项的和.10新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞4.错位相减法利用等比数列求和公式的推导方法求解 ，一般可解决型如一个等差数列和一个等 比数列对应项相乘所得数列的求和，如求 数列n3n的前n项和. 5.裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，它适用于通项 为 的前n项求和问题，其中an为等差数列，如 = ( - ).11新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞常见的拆项方法有：(1) = ;(2) = ;(3) = ;(4) = ;(5)nn!= .6.并项法 将数列的每两项(或多次)并到一起后，再 求和，这种方法常适用于摆动数列的求和.11(n+1)!-n!12新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞题型一题型一 分组求和及并项法求和分组求和及并项法求和例1 求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+(2n-1+2n+3n-2);(2)Sn=12-22+32-42+(-1)n-1n2.13新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞(1)因为an=(2n-1)+2n+(2n+1)+（3n-2）= = n2- n,所以Sn= (12+22+32+n2)- (1+2+n)= n(n+1)(5n-2)(nN*).14新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞(2)当n是偶数时，Sn=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2=-3-7-(2n-1)= .当n是奇数时，Sn=1+(32-22)+(52-42)+n2-(n-1)2=1+5+9+(2n-1)= .故Sn=(-1)n-1 (nN*).15新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞求数列的前n项和，首先要研究 数列的通项公式的特点，再确定相应的 求和方法.如本题中的(1)小题运用分组 求和法；(2)小题中，由于an的项是正 负相间，故采用并项求和法，但解题中 要注意分奇数、偶数讨论.16新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞题型二题型二 裂项相消法求和裂项相消法求和例2 已知等比数列an的首项a1= ,公比q满 足q0,且q1.又已知a1,5a3,9a5成等差数列.(1)求数列an的通项；(2)令bn=log3 ,试求数列 的前n项和Sn;(3)试比较 + + + 与 的大小.17新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞(1)依题意，10a3=a1+9a5，即 q2= + q49，整理得9q4-10q2+1=0，解得q2= 或q2=1，又q0，且q1，所以q= ，此时，an=a1qn-1=( )n.18新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞(2)因为bn=log3 =-log3an=n,= = - ,所以Sn=b1+b2+bn= ( - )+( - )+( - )=1- = .19新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞(3)因为 = = ( - ),所以原式= ( - )+( - )+( - )+( - )+( - )+( - )= (1+ - - )= - ( + ) 对nN*恒成立.20新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞（1）若数列的通项能转化为 an=f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项 相消法求和，关键是裂项成功，如 本例第（2）（3）问.（2）使用裂项相消法求和时，要注 意正负项相消时消去了哪些项，保 留了哪些项.21新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞题型三题型三 错位相减法求和错位相减法求和例3求和 + + + + (a0).(1)当a=1时，Sn=1+2+3+n= .(2)当a1，且a0时，Sn= + + + , Sn= + + + , 22新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞由-，得(1- )Sn= + + - = - .两边同除以(1- )并整理得Sn= .(a=1)(a1).综上所述,Sn=23新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞（1）若数列an为等差数列， bn为等比数列，则数列anbn的前n 项和可采用错位相减法求和； （2）当等比数列公比为字母时，应对 字母是否为1进行讨论.（3）将Sn与qSn相减合并同类项时，注 意错位及未合并项的正负号.24新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞1.若是等差、等比数列求和问题，则 直接用公式求和,应注意公式的应用范围( 如等比数列求和时,要分q=1和q1两类).2.非等差、等比数列求和问题，注意 观察通项的形式与特点，善于将问题转化 为等差、等比数列求和问题，或通过拆项 或并项或错位相减或倒序相加求和.3.数列求和需熟练基本方法,积累一定 的经验.25新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞课后再做好复习巩固课后再做好复习巩固. . 谢谢！谢谢！再见！再见！26新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞