第一节 数学归纳法及其 应用考 纲 点 击1.理解数学归纳 法的原理 ； 2.能用数学归纳 法证明一 些简单 的数学命题. 热 点 提 示1.数学归纳 法的考查与函 数、数列、不等式的考查 相结合，是高考的重点. 2.以解答题形式出现，属 中、高档题. 1数学归纳法 (1)不完全归纳法，是由 _的推理方法由不完 全归纳法所得到的命题并 _它是正确的，因此它不 能作为论证方法 (2)完全归纳法是一种在研究了事物 的_情况后得出一般结论的 推理方法，其得出的命题结论是 _，可以作为一种论证方法特殊到一般 不能保证可靠的所有特殊 (3)数学归纳法是用来证明与 _有关的数学命题的一种 常用方法，运用时，常与不完全归 纳法结合使用，用不完全归纳法发 现归纳总结规律，用数学归纳法证 明结论用数学归纳法证明一个与 正整数有关的命题的一般步骤如下 ：正整数证明当n取第一个值n0(例如n0 1或2)时结论正确 断定结论对于从n0开始的所有 正整数都正确 从n0开始的所有正整数 2归纳、猜想与证明 从观察一些特殊的简单的问题入手 ，根据它们所体现的共同性质，运 用不完全归纳法作出一般命题的猜 想，然后从理论上证明(或否定)这 种猜想，这个过程叫做 _ _它是一个完整的思维过程，是 人们从事科学研究发现、认识规律 的有效途径，也是用来培养创新思 维能力的有效办法，因此，它就成 了高考命题的热点之一“归纳猜想证明” 【答案】 C 【解析】 边数最少的凸n边形是 三角形 【答案】 C 【答案】 B 【答案】 2k 【思路点拨】 按数学归纳法的证 明步骤 整除问题是常见数学问题，除了在 二项式定理中利用二项式定理证明 整除外，有些还可用数学归纳法， 应用数学归纳法证明整除性问题时 ，关键是“凑项”，采用增项、减项 、拆项和因式分解等方法也可以 说将式子“硬提公因式”，即将nk 时的项从nk1时的项中“硬提出 来”，构成nk时的项，后面的式 子相对变形，使之与nk1时的 项相同，从而达到利用假设的目的 【思路点拨】 应用不完全归纳法 归纳出有关结论，再应用数学归纳 法给予证明 1应用数学归纳法可以证明与自 然数有关的命题，其两个步骤缺一 不可，第一步是递推的基础，第二 步是递推的依据，二者结合，才能 证明结论的正确性 2应用范围 (1)用数学归纳法证明恒等式 用数学归纳法证明恒等式时，首先 要搞清等式两边的结构特点，注意 由“nk到nk1”时等式两边项的 变化情况，关键是如何将式子转化 为与归纳假设结构相同的形式，以 便使用归纳假设 (2)证明不等式 用数学归纳法证明不等式的命题， 远比证明恒等式困难得多，证明时 要灵活运用不等式的性质，可适当 放缩 (3)证明几何问题 用数学归纳法证明几何问题时，要 注意结合几何图形的性质，在求由 “nk到nk1”增加的元素个数时 ，可以先用不完全归纳法找出其变 化规律 (4)证明数学整除问题 用数学归纳法证明整除性问题必然 会涉及数或式的整除性的知识，学 习时应适当复习 例如：如果a能被c整除，那么a 的倍数pa也能被c整除； 如果a，b都能被c整除，那么它 们的和或差ab也能被c整除等课时提能精练 点击进入链接