8.2 空间几何体的表面积与体积考点探究挑战高考考向瞭望把脉高考 8.2空 间 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积双基研习面对高考柱、锥、台与球的侧面积和体积双基研习面对高考基础梳理基础梳理2rhr2hrl(r1r2)lchSh思考感悟 对对不规则规则 的几何体应应如何求体积积？提示：对对于求一些不规则规则 的几何体的体积积常用割补补的方法，转转化为为已知体积积公式的几何体进进行解决课前热身课前热身1(教材习题改编)一个圆柱形的玻璃瓶的内半径 为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完 全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，则钢球 的半径为( )A1 cm B1.2 cmC1.5 cm D2 cm答案：C答案：B3(2011年蚌埠质检)如图，一个空间几何体的主 视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形 ，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何 体的表面积为( )答案：A5(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_考点探究挑战高考考点突破考点突破几何体的表面积求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征 几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形， 棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长 等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的 未知量与条件中已知几何元素间的联系；求球的表 面积关键是求其半径；旋转体的侧面积就是它们侧 面展开图的面积例例1 1【思路点拨拨】 根据图图形特征，球心为为三棱柱上 、下底面的中心连线连线 的中点，构造三角形可求得 球的半径，代入公式可求得表面积积【解析】 三棱柱如图图所示，【答案】 B【名师师点评评】 求几何体的表面积积要抓住关键键量，如多面体的高，底面边长边长 及几何体特征，旋转转体的高、底面半径及几何特征，球的半径，同时时注意整体思维维的运用，以减少计计算量变变式训练训练 1 (2009年高考海南、宁夏卷)一个棱 锥锥的三视图视图 如图图，则该则该 棱锥锥的全面积积(单单位： cm2)为为( )解析：选选A.由三视图视图 可知原棱锥为锥为 三棱锥锥，记记 为为P-ABC(如图图)，且底面为为直角三角形，顶顶点P 在底面的射影为为底边边AC的中点，几何体的体积计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解(2010年高考陕西卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB，BPBC2，E，F分别是PB，PC的中点(1)证明：EF平面PAD；(2)求三棱锥E-ABC的体积V.例例2 2变变式训练训练 2 有一根木料，形状为为直三棱柱形，高为为6 cm，横截面三角形的三边长边长 分别为别为 3 cm、4 cm、5 cm，将其削成一个圆圆柱形积积木，求该该木料被削去部分体积积的最小值值解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱 柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大 ，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面 半径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高几何体的折叠与展开几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的，利用了空间问题平面化的思想把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点例例3 3 (1)有一根长为3 cm、底面半径为1 cm的圆 柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝 的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的 最短长度为多少？ (2)把长、宽分别为4 cm和3 cm的矩形卷成圆柱， 如何卷能使体积最大？ 【思路点拨】 把圆柱沿着铁丝的两个端点落在的 那条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短 距离【解】 (1)把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开 ，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC 3 cm，AB4 cm，点A与点C分别是铁丝的 起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短 长度【规规律小结结】 几何体的展开图图方法感悟方法感悟方法技巧 1对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥 、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构 特点与平面几何知识来解决(如例1) 2当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无 法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的 已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的 技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)， 或化离散为集中，给解题提供便利(如例2)3有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素失误防范 1面积、体积的计算中应注意的问题 (1)柱、锥、台体的侧面积分别是某侧面展开图的 面积，因此，弄清侧面展开图的形状及各线段的 位置关系，是求侧面积及解决有关问题的关键 (2)计算柱、锥、台体的体积关键是找到相应的底 面积和高充分运用多面体的截面及旋转体的轴 截面，将空间问题转化成平面问题(3)球的有关问题，注意球半径与截面圆半径 ，球心到截面距离构成直角三角形 (4)有关几何体展开图与平面图形折成几何体 问题，在解决的过程中注意按什么线作轴来展 或折，还要坚持被展或被折的平面，变换前、 后在该面内的大小关系与位置关系不变在完 成展或折后，要注意条件的转化对解题也很重 要2与球有关的组合体问题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外 接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的 位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适 的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各 个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外 接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体 的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合 ，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的 组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点” 、“接点”作出截面图考情分析考情分析考向瞭望把脉高考空间几何体的表面积、体积是高考的必考知识点 之一题型既有选择题、填空题，又有解答题， 难度为中、低档客观题主要考查由三视图得出 几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体 的表面积、体积得出某些量；主观题考查比较全 面，其中一步往往设置为表面积、体积问题，无 论是何种题型都考查学生的空间想象能力预测2012年高考仍将以空间几何体的表面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力规范解答规范解答例例 (本题满分12分)(2010年高考课标全国卷)如 图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形， ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 【解】 (1)证明：因为PH是四棱锥P-ABCD的 高， 所以ACPH.又ACBD，PH、BD都在平面 PBD内，且PHBDH， 所以AC平面PBD，又AC 平面PAC， 故平面PAC平面PBD.6分【名师点评】 (1)本题易失误的是：不会转化思 想的应用，一看到梯形就定向思维以致求不出底面 积；用错锥体体积的计算公式 (2)计算空间几何体的体积时要注意：分析清楚空 间几何体的结构，搞清楚该几何体的各个部分的构 成特点；进行合理的转化和一些必要的等积变换 ，如三棱锥的体积计算就可以通过“换顶点”的方法 进行等积变换；正确选用体积计算公式在体积 计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除 外)，因此体积计算中的关键一步就是求出这个量 在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和 旋转体中的轴截面如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋 转一周所形成的几何体的体积名师预测名师预测本部分内容讲解结束点此进进入课课件目 录录按ESC键键退出全屏播放谢谢谢谢 使 用