VaR的计算方法Cht 13风险价值VaR的计算 VaR的计算方法有多种,适用于不同的市场条件,数据水平 和精度要求,大体上可以归为以下三种: 历史模拟方法（Historical Simulation Method） 方差-协方差方法（VarianceCovariance Method） 蒙特卡罗方法（Monte Carlo Simulation Method）。金融风险管理 闫海峰8.2历史模拟法(Historical simulation 历史模拟法是假设金融市场上未来收益率的分布与过去的 历史分布相同，利用金融资产损失的历史数据模拟获得资 产的风险值VaR. 该方法是基于经验分布的一种方法，他不需要对资产收益 的分布做任何假设,直接利用资产或市场因子的历史价格 数据来模拟未来情景,将市场因子或资产价格的历史数据 当作未来可能的情景集，然后将情景集中的资产价格排序 后得到水平分位数，即可得到VaR值。 金融风险管理 闫海峰8.3金融风险管理 张学功8.4历史模拟法步骤金融风险管理 张学功8.5以历史模拟法步骤算出风险值 金融风险管理 张学功8.6历史模拟法(1) 债券风险计算为例: (1)确定风险因子：国内债券的风险因子为利率。 (2)选取历史期间的长度 (3)搜集利率的资料，并计算每日利率波动的程度，及其 所有相对应之收益分佈。 (4)将所有相对的债券收益按大小依序排列，计算其机率 并绘成直方图，模拟出未来的收益分布。 (5)选定所要估计之置信水平，在该百分位数之价值即为 此债券之风险值。 金融风险管理 张学功8.7金融风险管理 张学功8.8历史模拟法(2) 假设今日以60元买入南京银行的股票1万张 共60万元，我们只可以找到过去101个交易 日的历史资料，求在95%置信水平之下的日 风险值为何？金融风险管理 闫海峰8.9 根据过去101日南京银行之每日收盘价资料 ，可以产生100个报酬率资料。 将100个报酬率由小排到大找出到倒数第五 个报酬率（因为置信水平为95%），在此假 设为-4.25%。 -4.25% * 600,000 =-$25,500 所以VaR= $25,500，因此明日在95%的机率 下，损失不会超过$ 25,500元。金融风险管理 闫海峰8.10影响风险值的重点 使用历史模拟法要有大量的历史资料，才有办 法精确的叙述在极端状况下（如99%的置信水 平）的风险值 。 历史资料中能捕捉到的极端损失的机率低于正 常损益的机率，量多而且具有代表性的资料的 取得就相形重要。 历史模拟法更可以勾勒出资产报酬分布常见的 厚尾、偏态、峰态等现象，因此计算历史价格 的时间（与资料的多寡有关）是影响风险值的 一个重点。 金融风险管理 张学功8.11历史模拟法的特点与优缺点方法优点缺点历史历史 模拟模拟 法法对于所有商品的风险值估 算具精确度可描绘出完整的收益分布 图不需要附加关于统计分步 的假設估算速度较蒙特卡罗模拟 法快（模拟情境较少） 计算简单计算简单而且容易了解而且容易了解需要较长的价格历史 资料历史资料可能无法模 拟 未來情況置信水平水平太高时 估算精确度较差极端事件無法捕捉金融风险管理 张学功8.12优点:不需要加关于资产报酬的假设 利用历史资料，不需要加关于资产报酬的 假设，可以较精确反应各风险因子的概率 分布特性，例如一般资产报酬具有的厚 尾、偏态现象就可能透过历史模拟法表达 出来。 金融风险管理 张学功8.13优点:不需分布的假设 历史模拟法是属于无母数法的一员，不须 对资产报酬的波动性、相关性做统计分布 的假设，因此免除了估计误差的问题；况 且历史资料已经反应资产报酬波动性、相 关性等的特征，因此使得历史模拟法相较 于其他方法，较不受到模型风险的影响。 金融风险管理 张学功8.14优点:完全评价法 不需要类似Delta-Normal的方法以简化现实 的方式，利用趋近求解的观念求取进似值 ；因此无论资产或投资组合的报酬是否为 常态或线性，波动是否随时间而改变， Gamma风险等等，皆可采用历史模拟法来 衡量其风险值。金融风险管理 张学功8.1512.2 VaR 的精确度 在历史模拟法中，对于交易组合价值变化分布的计算是基 于过去发生的有限的观察值，历史模拟法对于分布的分位 数的估计并不是绝对准确。 肯德尔( Kendall) 及斯图尔特 (Stuart )的研究成果给出了 由抽样数据计算出的概率分布的 分位数的置信区间。假 定概率分布的第 q 个分位数的估计值为 x ，这一估计的 标准差为： n 为观察值的个数 ;f(x) 为对应于损失量为耳的损失分布 的密度函数值 假如我们采用 500 个观察数据来估计损失分布的 99%分位 数，这时 n = 500 ，q = 0. 99 ,我们可以 采用标准分布来对经 验分布进行匹配，并由此求得f(x)的近似值。假定经验分布 服从正态分布，其期 望值为 0 ，标准差为1 000 万美元。 在 Excel 中， 99%分位数所对应的数值为 NORMINV ( O. 99 ，0 1 000) =2326 万(美元)， f(x) 对的数值为 NORMDIST (23.26 ，0 ，10 ，FALSE) =0.0027 ，分位数估计的标准差为 假如采用历史模拟法求取的 0.99 分位数的估计值为2500 万 美元，在 95%的置信程度下 VaR 的置信区间为 2 500 - 1.96 x 167 至 2500 + 1.96 x 167 ，2170 万美元至 2830 万美元。 随着置信程度的提高，标准差也不断增大。标准差随着抽样 数据数量的增加会有所降低，但降低的速度仅仅与数据量的 平方根成反比。12.3 历史模拟法的推广 历史在某种意义上是对将来的一种指导。 12.3.1 对观察值设定权重 Boudoukh 等建议对最近的观察数据赋予更大的权重，这 可以保证模型充分反映当前市场披功率以及当前市场经济 环境的变化。类似于 EWMA 模型，情景i的权重为： 将所有的观察值由最坏到最好进行排序，由损失最坏的情 形开始，累积计算每一项权重的和，当权重总和达到某指 定分位数界限时，停止计算，此时的损失数值即为VaR。 可以通过实验不同的 ，并在回溯检验中选取最佳匹配。12.3.2 在历史模拟法中包含波动率的更新 约翰赫尔和艾伦怀特建议使得在历史模拟法中可以包括 更新的波动率的计算方法。 假定 是 的两倍，这意味着我们对某市场变 量今天的波动率的估计为第i-1 天的波动率估计的两倍 ，因此可以预见今天到明天的变化量也应该是从第 - 1 天到第 i天变化量的两倍，由此第i天的市场变量：由此方法计算的99%VaR 为 591640 美元，这大约是由标准法 计算出的 VaR 的两倍。12.3.3 自助法 (Bootstrap Method) 由Efron（1979）于Annals of Statistics所发表的统计推论技 巧，是近代统计学发展上极重要的一个里程碑。 其概念是利用样本资料重复抽取，以模拟出总体的分布， 再由模拟出来的总体特质进行估计与检定，因此并不需要 总体的实际分布为何。 Bootstrap法最适用于当样本数有限，以重覆抽样原有样本 的方式，来求得较精确的抽样分布。而在执行上常需借助 于现代快速的电脑，所以随著电脑运算能力的发展， Bootstrap法的应用也就越来越广泛。金融风险管理 张学功8.20Bootstrap法的步驟 将201笔历史价格资料转换成200笔的历史价格变化量。 之后Bootstrap法对这200笔变动量进行10,000次（或以上 次数）的重覆取样，因此产生10,000组的价格变动量值与 报酬率，就可以建立一个资产损益报酬率的可能分布。 再将此10,000个报酬率由小到大排列，根据置信水平选取 的分位数所在的报酬率，再乘上今天的资产价格，就可以 求得以Bootstrap法调整的历史模拟法风险值。 对于计算值从小到大进行排列，假如名列第 25 0位的 VaR 值为 530 万美元，名列第 9750 位的 VaR 值为 890 万美元，那么对应于 95%置信水平的置信区间范围为 530 万 -890 万美元金融风险管理 张学功8.21金融风险管理 张学功8.22极值理论 极值理论用于观察变量x的经验分布的右 尾特征（观察左尾可以考虑x ） 在分布的右尾选择一个数值u 然后采用Gnedenko的结果， Gnedenko的 结果阐明，对于多种概率分布，随着u的 增加，概率分布趋向于广义 Pareto 分 布。概率分布为位于u和u+y之间并且大于 u的条件概率分布v12.4 极值理论 Gnedenk在1943 年证明了极值理论的一个主要结论，这一结 论可以描述多种概率分布的尾部状态。假定 F( v) 为变量 u 的累积分布函数(例如，在一段时间段上组