第三章 应变分析 3-1 位移和（工程）应变 3-2 3-2 应变张量和转动张量应变张量和转动张量3-3 3-3 应变张量和转动张量的坐标变换式应变张量和转动张量的坐标变换式3-4 3-4 主应变、主应变方向、应变张量主应变、主应变方向、应变张量 的三个不变量的三个不变量3-5 3-5 变形协调变形协调条件条件（相容条件）（相容条件） * *1 1在第二章我们研究了应力张量本身和 体力、面力之间的关系式，即平衡规律。 本章将讨论变形体研究的另一个基本关系 ：变形与位移之间的关系。当然要以小变 形假设为基础，位移和形变相对于变形体 几何尺寸是微小的。3-1 3-1 位移和（工程）应变位移和（工程）应变DateDate2 23-1 位移和（工程）应变1.1位移 x2x1x3PoP 有三个分量。 Pu变形体任意点P的位移矢量DateDate3 33-1 位移和（工程）应变1.2 (工程)应变 工程应变是通常工程中描述物体局部几何 变化，分为正应变和剪应变。 ，（角变形）两微元线段 夹角的改变量。（工程）正应变：11、22、33 ，（工程）剪应变：12=xy、23=yz、31=zxDateDate4 43-1 位移和（工程）应变工程应变共有六个分量：x1x2x3P 23x1x2x3Pdx1dx2dx322dx2三个正应变，正应变以伸长为正，三个剪应变，剪应变以使直角变小为正。 DateDate5 53-2 应变张量和转动张量 应变张量和转动张量是描述一点变形 和刚体转动的两个非常重要的物理量，本 节将讨论一下它们与位移之间关系，在讨 论之前，先介绍一下相对位移矢量和张量.DateDate6 6x2x1x3PoP Q3-2 应变张量和转动张量2.1 相对位移矢量和相对位移张量 相对位移矢量 Puu+duQ P QDateDate7 73-2 应变张量和转动张量（ a） 而 (b) 将（b）式代入（a）式，得 2.1 相对位移矢量和相对位移张量DateDate8 83-2 应变张量和转动张量根据商法则 令 为一个二阶张量相对位移张量 DateDate9 93-2 应变张量和转动张量2.2 应变张量和转动张量 相对位移张量 ui,j 包含了变形和刚体转动 ，为了将两者分开，对 ui,j 进行整理，张量分 成对称和反对称张量之和。 或 DateDate10103-2 应变张量和转动张量其中 ij = ji（对称张量）， ij = -ji （反对称张量） 而 ij 表示变形体的形变，ij 表示了刚体转动 。 DateDate11113-2 应变张量和转动张量以在平面x1 x2的两个垂直线段PQ、PR 的相对位移来说明并直观看一下ij，ij二阶张 量表示了形变和刚体转动。PQRx1x2dx1=1dx2=1DateDate12123-2 应变张量和转动张量相对位移 u1 ,1PRQRQx1x2dx1=1dx2=1u1 ,2u2 ,1u2 ,2PQRu1、u2x1x2dx1=1dx2=1DateDate13133-2 应变张量和转动张量11，12= 21，22 纯变形 12= -21 纯转动 12=(u1 ,2 +u2 ,1 ) /222=u2 ,211=u1 ,121= (u2 ,1 +u1 ,2 )/ 2(+)/2+x2 x1 12= (u1 ,2 -u2 ,1 ) /221=(u2 ,1 -u1 ,2 ) /2x2 x1 DateDate14143-2 应变张量和转动张量2.3 转动张量的对偶矢量 由纯刚体转动可见，12= -21，正好相当 于一个沿 x3 轴方向的转动矢量 ，方向为 ，其大小 3:类似可得，其它两个坐标平面转动矢量，DateDate15153-2 应变张量和转动张量综合三个坐标面的转动矢量 ： 为转动张量的对偶矢量。 DateDate16163-2 应变张量和转动张量比较工程应变定义和应变张量，可得： DateDate17173-3 应变张量和转动张量的坐 标变换式在 xk 坐标系中，已知变形体内任一点应 变张量 kl 和转动张量 kl ，则在新笛卡尔坐 标系xi中此点应变张量ij和 ij 均可以通过二 阶张量的坐标转换式求出它们。即： DateDate18183-4主应变、应变方向应变张量的三个不变量 确定一点的主应变和应变主方向方法与 求主应力和应力主方向的方法完全一致，求 主应变的方程 分别为应变张量的三个不变量。 解出1、2、3 （实根） DateDate19193-4 主应变、应变方向应变张量的三个不 体积应变 当 1 2 3 时（三个主应变不相等）， 三个主方向相互垂直。 变量变量DateDate20203-5 变形协调条件（相容条件）在本章第二节中我们讨论了一点的应变 张量，它包含了一点的变形信息，应变张量 与位移微分关系称为几何方程（共六个）。 如果已知变形体的位移 状态， 则由这六 个方程直接求出应变张量，但反之由六个独 立的任意 ij求ui不行。DateDate21213-5 变形协调条件（相容条件）因为ij 仅包含形变，由其求出位移时，刚体位 移是无法确定的，因此，位移 无法确定。 ij 分量之间必须满足一定的条件（方程），才 能由几何方程积分求出单值连续的位移场ui、ij的分量必须满足的方程称为变形协调方程 或相容方程。DateDate22223-5 变形协调条件（相容条件）变形协调方程共有六个，可由几何方程直 接导出。即： DateDate23233-5 变形协调条件（相容条件）DateDate24243-5 变形协调条件（相容条件）DateDate25253-5 变形协调条件（相容条件）DateDate26263-5 变形协调条件（相容条件）DateDate27273-5 变形协调条件（相容条件）用指标符号表示： 或 用张量表示： DateDate28283-5 变形协调条件（相容条件）结论：应变张量 ij 满足变形协调方程是保证 单连域的位移单值连续解存在的必要和充 分条件。 对于复连域还需附加补充条件位移单值 条件。 单连域：变形体内的任何一条封闭线当缩小时 均能变为一点，当不满足时为多连域。 DateDate29293-5 变形协调条件（相容条件）对于多连域附加补 充条件办法为：假想通过适当截断，使域为单连域.在截断面 ab 两侧 u+i = u -i即为补充条件。 abu+u -DateDate3030作业： 1. 给定位移分量 u1= cx1(x2+x3)2, u2=cx2(x1+x3)2, u3=cx3(x1+x2)2 此处 c为一个很小的常数，求应变张量ij 和转动张量 ij 。 2. 将直角坐标系绕x3轴转动角，求新坐标系 应变分量的转换关系。DateDate3131作业： 3. 假定体积不可压缩，位移 u1(x1,x2) 与 u2(x1,x2) 很小， u3=0。在一定区域内已知u1=c(1-x22)(a+bx1+cx12) ,其中a、b、c为常数，且12=0，求 u2(x1,x2)。4. 试分析以下工程应变状态能否存在 （1）11=k(x12+x22) x3 , 22=kx22x3 , 33=0 12=2k x1 x2 x3, 23= 13=0 DateDate3232作业 ：(2) 11=k(x12+x22) , 22=kx22 , 33=0, 12=2kx1x2, 23= 13=0 (3) 11=ax1x22 , 22=ax12x2 , 33= ax1x2, 12=0, 23= ax32+bx2, 13=ax12+bx22 其中k、a、b为常数。 DateDate3333