1.2.2组合教学目标 1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式 ； 2.能正确认识组合与排列的联系与区别 教学重点： 理解组合的意义，掌握组合数的计算公式问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的 活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不 同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙 3情境创设从已知的3个 不同元素中每 次取出2个元 素,并成一组问题二从已知的3 个不同元素 中每次取出2 个元素,按照 一定的顺序 排成一列.问题一排列组合有 顺 序无 顺 序一般地，从n个不同元素中取出m（mn） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点 ？ 概念讲解 组合定义:?组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（mn） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.概念讲解思考一:aB与Ba是相同的排列 还 是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同 的组合呢?）元素相同；）元素排列顺序相同.元素相同概念理解构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤.思考三:组合与排列有联系吗?判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共 需握手多少次?组合问题组合问题组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合分别是:ab , ac , bc 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元 素的所有组合. ab c d bc d cdab , ac , ad , bc , bd , cd(3个)(6个 )概念理解从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号 表示.如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素 的所有组合个数是: 如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 两个元素的所有组合个数是：概念讲解 组合数注意：注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来 1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 组合abc ， abd ， acd ，bcd .bcddcb acd练一练练一练组合排列abcabdacdbcdabc bac cab acb bca cbaabd bad dab adb bda dbaacd cad dac adc cda dcabcd cbd dbc bdc cdb dcb（三个元素的）1个组合，对应着6个排列你发现了 什么?对于，我们可以按照以下步骤进行组合数公式排列与组合是有区别的，但它们又有联系一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，可以分为以下2步： 第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个 元素的组合数 第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 根据分步计数原理，得到：因此： 这里m,n是自然数，且 mn ，这个公式叫做组合组合 数公式数公式 概念讲解组合数公式:从 n个不同元中取出m个元素的排列数例1、计算： 例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，（1）列出所有各场比赛的双方；（2）列出所有冠亚军的可能情况.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙（1） 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：例题分析（3）已知： ，求n的值 35(2) 120例31.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.思悟小结（2）同是从n个元素中取m个元素，但是组合 一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序（1）有序与无序的区别2.理解组合数的的定义与公式作业P27 习题1.2 2、 9（1）（2）3.10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同 的分工方 法有 种；组合应用【练习】1.用m、n表示2.从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛，共 有 种 不同的选法；如果这三个选手又按照不同顺序安排， 有 种方法. 例1. 在产品检验中，常从产品中抽出一部分 进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件 正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求， 各有多少种不同的抽法？(1)无任何限制条件；(2)全是正品；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.解答 ：（1）（2）（3）（4），或（5）（6）1.有10道试题，从中选答8道，共有 种选法、 又若其中6道必答，共有 不同的种选法.2.某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学 参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种 不同的选法？ （1）无任何限制条件； （2）正、副班长必须入选； （3）正、副班长只有一人入选； （4）正、副班长都不入选； （5）正、副班长至少有一人入选； （5）正、副班长至多有一人入选；练习：小结：至多至少问题常用分类的或排除法.例2 从数字1,2,5,7中任选两个 练习 有不同的英文书5本,不同的中文书7本,从中选出两本书.(1)若其中一本为中文书,一本为英文书.问共有多少种选法?(1) 可以得到多少个不同的和? (2)可以得到多少个不同的差?(2)若不限条件,问共有多少种选法?6个 12个35种66种例4 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划 右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分 在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?例3 在MON的边OM上有5个异于O点的点, ON上有4个异于O点的点,以这十个点(含O)为 顶点,可以得到多少个三角形?NOMABCDEFG HI练习 如图,在以AB为直径的半圆周上有异于 A,B的六个点C1, C2 ,C3 , C4 ,C5 ,C6 , AB上有异 于A, B的四个点D1 , D2 , D3 , D4,问(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少 个三角形?(2)以图中12个点(包括A,B)中的四个为顶 点,可作多少个四边形?ABD1D2D3D4 C1C2C3C4 C5C6练习（1）求 的值组合数的性质（1）（2）（2）求满足 的x值（3）求证：（4）求 的值1617005或25111. 排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合 中常见的问题有：选派问题、抽样问题、图形问 题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键 是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排， 合理分类、分步. 2.理解组合数的性质 3.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合 理分类）和间接法（排除法）.思悟小结P27 习题1.2 10、 11组合与组合数通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义 ，组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天 我们将在此基础上，继续学习它们的一些应用（一）组合数的 公式及其性质：组合数性质1：2：特别地：701,或5练习一（5）求 的值（1）（2）（3）（4）511求证 ：例题解读 证明 ：因为左边=注意阶乘的变形形式 ：=左边，评注 ： 所以等式成立练习精选： 证明下列等式 ：（1 ）（2 ）例例1 16 6本不同的书，按下列要求各有多少种本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法：不同的选法： （1 1）分给甲、乙、丙三人，每人）分给甲、乙、丙三人，每人2 2本；本；例题解读：例题解读：解：解：（1 1）根据分步计数原理得到：）根据分步计数原理得到：种种例例1 16 6本不同的书，按下列要求各有多少种本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法：不同的选法： (2)(2)分为三份，每份分为三份，每份2 2本；本；解析：解析：(2)(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有份两本，设有x x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有丙三名同学有 种方法根据分步计数原理种方法根据分步计数原理所以所以 可得可得： 例例題題解读：解读：因此，分为三份，每份两本一共有因此，分为三份，每份两本一共有1515种方法种方法所以所以点评：点评： 本题是分组中的本题是分组中的“均匀分组均匀分组”问题问题 一般地：将一般地：将mnmn个元素均匀分成个元素均匀分成n n组（每组组（每组mm个元素个元素 ）, ,共有共有 种方法种方法例例1 16 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法：的选法： （3 3）分为三份，一份）分为三份，一份1 1本，一份本，一份2 2本，一份本，一份3 3本；本； （4 4）分给甲、乙、丙三人，一人）分给甲、乙、丙三人，一人1 1本，一人本，一人2 2本，本， 一人一人3 3本；本；解：解：（3 3）这是）这是“不均匀分组不均匀分组”问题，一共有问题，一共有 种方法种方法（4 4）在（）在（3 3）的基础上再进行全排列，所以一共有）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法种方法例题解读：例题解读：例16本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本 解：解：（5 5）可以分为三类情况：）可以分为三类情况：“2 2、2 2、2 2型型” ” 的分配情况，有的分配情况，有 种方法；种方法； “1 1、2 2、3 3型型” ” 的分配情况，有的分配情况，有 种方法；种方法； “1 1、1 1、4 4型型”，有，有 种方法，种方法，所以，一共有所以，一共有90+360+9090+360+90540540种方法种方法例题解读：例题解读：元素相同问题隔板策略 例.有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形