信号与系统课程报告一、信号分类：连续、离散；周期、非周期；因果 、反因果；普通、奇异。 1、连续周期 f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2, 2、离散周期 f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,正弦序列f(k) = sin(k) ，称为正弦序列数字脚 频率，单位：rad。当2/ 为有理数时，正弦序 列仍为具有周期性，但其周期为N= M(2/ )，M 取使N为整数的最小整数。注：连续正弦信号一定是周期信号，而正 弦序列不一定是周期序列。两连续周期 信号之和不一定是周期信号，而两周期序 列之和一定是周期序列。 3、将t 0， f(t) =0的信号称为因果信号，将 t 0， f(t) =0的信号称为反因果信号。 4、阶跃函数(t)和冲激函数(t)不同于普通函 数，称为奇异函数。二、系统的特性 1. 连续系统与离散系统 2. 动态系统与即时系统 3. MIMO 4. 线性系统与非线性系统（齐次+可加） 5. 时不变系统与时变系统 6. 因果系统与非因果系统 7. 稳定系统与不稳定系统一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响 应yf(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界 输出稳定，简称稳定。即 若f(.)，其 yf(.) 则称系统是稳定的。 三、LTI系统的分析方法:时域和频域 1、时域: 齐次解+特解 齐次解 是齐次微分方程y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。 特解 的函数形式与激励函数的形式有关。 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而 与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应 或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。对于零输入响应，由于激励为零，故有 yx(j)(0+)= yx(j)(0-) = y (j)(0-) 对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应 有yf(j)(0-)=0 冲激相应由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称 为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t) 。h(t)=T0,(t) 输入信号f(t)的零状态相应为信号卷积与卷积和类比：连续与离散基本信号的对应关系复指数函数：复指数序列单位冲激信号：单位阶跃信号：正弦信号：虚指数信号：单位脉冲序列单位阶跃序列正弦序列虚指数序列n = 0, 1, 2， 表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数 信号之和。 Fn 是频率为n的分量的系数，F0 = A0/2为 直流分量。一、周期信号的傅立叶级数周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值 、相位随频率的变化关系傅立叶变换和系统的频域分析周期信号频谱的特点举例：有一幅度为1，脉冲宽 度为的周期矩形脉冲，其周 期为T，如图所示，求频谱。 令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数） , n = 0 ,1，2， Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。零点为所以，m为整数。特点： (1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置 是基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。谱线的结构与波形参数的关系：(a) T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。 (b) 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那 么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡 到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于 无穷小。 （3）信号的能量主要集中在第一个零点以内 ，通常把0f 1/这段频率范围成为周期矩 形脉冲信号的频带宽度或信号的带宽。周期信号的功率Parseval等式含义：直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。周期信号一般是功率信号，其平均功率为表明：对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等。二、非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。 前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋 近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率 分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之 间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的 概念。令 (单位频率上的频谱） 称F(j)为频谱密度函数。考虑到：T，无穷小，记为d；n （由离散量变为连续量），而同时， 于是，F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 F(j) 可看做是单位频率的振幅。 f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。根据傅里叶级数门函数(矩形脉冲)带宽f=1/ / 冲激函数(t)均匀谱（白色频谱）1. F 变换对傅立叶变换的重要性质 1、尺度变换性质If f (t) F(j) then 在时域中信号占据时间的压缩对应于其频谱在频域中信 号占有频带的扩展，即信号的持续时间与信号的占有频 带成反比。在电子技术中，有时需要将信号的持续时间 缩短，以加快信息传输速度，这就不得不在频域内展宽 频带。 2、频移（调制）性质If f (t) F(jthen)where “0” is real constant三、能量谱和功率谱 能量谱1. 信号能量的定义：时间（-, ）区间上信号的能量。信号(电压或电流)f(t)在1电电阻上的瞬时时功率为为|f(t)|2, 在区间（-T, T）的能量为如果信号能量有限，即0E，信号称为为能量有 限信号，简简称能量信号。例如门门函数，三角形脉冲， 单边单边 或双边边指数衰减信号等。2. 帕斯瓦尔方程（能量方程）：在频带df内信号的能量为E () df，因而信号在整 个频率区间（-, ）的总能量为：3. 能量密度谱E ()： (Energy-density Spectrum) 为了表征能量在频域中的分布情况，可以借助于密 度的概念，定义一个能量密度函数，简称为能量频谱或 能量谱。能量频谱E ()定义为单位频率的信号能量。上式与帕斯瓦尔公式进行比较可知，能量密度谱 E () 为：单位频率的幅度单位频谱的信号能量功率谱由信号能量和功率的定义可知，若信号能量E有 限，则P=0；若信号功率P有限，则E=。1. 信号功率：定义为时间（-, ）区间上信号f(t)的平均功率，用P表示。如果信号功率有限，即0P，信号称为为功率有 限信号，简简称功率信号。如阶跃阶跃 信号，周期信号等。如果f(t)为实函数，则功率有限信号的能量趋于无穷大，即从f(t)中截取|t|T/2的一段，得到一个截尾函数fT(t)， 它可以表示为为：如果T是有限值值，则则fT(t)的能量也是有限的。令fT(t)的能量ET可表示为为：由于f(t)的平均功率为为：当T增加时时，fT(t)的能量增加，|FT(j) |2也增加。 当T时时， fT(t) f(t) ，此时时|FT(j) |2 /T可能趋趋于一 极限。比较较得：2. 功率密度谱：类类似于能量密度谱谱，定义义功率密度谱谱函数P () 为单为单 位频频率的信号功率。从而平均功率：功率有限信号的功 率谱函数P () 与自 相关函数R()是一 对傅里叶变换。3、功率谱函数和自相关函数的关系上式称为维纳辛欣关系。由于随机信号不能用频 谱表示，但是利用自相关函数可以求得其功率谱， 用功率谱来描述随机信号的频域特性。四、 周期信号的傅里叶变换由上式可知：周期信号的频谱是离散的注：对周期函数进行傅立叶变换时，得到的是频谱密 度；而将该函数展开为傅立叶级数时，得到的是傅立 叶系数，代表的是虚指数分量的幅度和相位。五、LTI系统的频域分析傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频 率的虚指数函数之和。对周期信号：对非周期信号：其基本信号为 ej t 1、基本信号ej t作用于LTI系统的响应 设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率的 基本信号ej t时，其响应y(t) = h(t)* ej tH(j )反映了响应y(t)的幅度和相位。y(t) = H(j ) ej t而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换， 记为H(j )，常称为系统的频率响应函数。所以：2、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应ej tH(j ) ej tF(j ) d ej tF(j )H(j ) d ej t f(t) y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j )3、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传 输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则 要求滤去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真。 1、无失真传输 （1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与 输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不 同，而没有波形上的变化。即输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为y(t) = K f(ttd)其频谱关系为 Y(j)=Ke jtdF(j) 系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：(a)对h(t)的要求：h(t)=K(t td)(b)对H(j)的要求：H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd 即H(j)=K ,()= td 上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽 的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、 相频特性满足以上条件即可。 (2)无失真传输条件：2、理想低通滤波器 具有如图所示幅频、相频特性 的系统称为理想低通滤波器。 c称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应 可写为： (1)冲激响应 h(t)= -1g 2 c()e-jtd =可见，它实际上是不可实现的非因果系统 六、取样定理取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完 全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续 信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。 可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了 一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。 一、信号的取样所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号 f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为取样信号。 冲激取样 若s(t)是周期为Ts的冲激函数序列Ts(t),则称为冲激取样。 如果f(t) 是带限信号 即f(t)的频谱只在区间（ - m，m)为有限值，而其余区间为0 。 设f(t)F(j)，取样信号fS(t)的频谱函数 FS(j)= (1/2)F(j)* S s() S =2/TSs(t)=Ts(t) S s() =*=上面在画取样信号fS(t)的频谱时，设定S 2m ,这时 其频谱不发生混叠，因此能设法(如利用低通滤波器)， 从FS(j)中取出F(j)，即从fS(t)中恢复原信号f(t)。否则 将发生混叠，而无法恢复原信号。七、 序列的傅里叶分析1、周期序列的离散傅里叶级数（DFS）具有周期性的离散时间信号可以表示为fN(k),其下 标N表示其周期为N，即有对于连续时间信号，周期信号fT(t) 可以分解为一系 列角频率为n(n=1, 1, 2, ) 的虚指数e jnt (其中 =2/T为为基波角频频率)之和。类似地，周期为N的序列fN(k)也可展开为许多虚指 数e jnk=e jn（2/N）k （其中=2/N 为基波数字角频率） 之和。称为离散傅里叶系数。称为