控制工程基础n2. 控制系统的传递函数n2.1 概述n2.2 微分方程n2.3 利用拉氏变换求解微分方程n2.4 传递函数n2.5 典型环节的传递函数n2.6 系统的方框图及其化简n2.7 梅逊公式n2.8 数据模型的实验测定法控制工程基础n2. 控制系统的传递函数n 基本要求基本要求 1. 了解数学模型的基本概念。能够运用动了解数学模型的基本概念。能够运用动 力学、电学及相关专业知识，列写机械系力学、电学及相关专业知识，列写机械系 统、电网络的微分方程。统、电网络的微分方程。 2. 掌握传递函数的概念、特点，会求传递掌握传递函数的概念、特点，会求传递 函数的零点、极点及放大系数。函数的零点、极点及放大系数。 3. 能够用分析法求系统的传递函数。能够用分析法求系统的传递函数。 4. 4. 掌握各个典型环节的特点，传递函数的掌握各个典型环节的特点，传递函数的 基本形式及相关参数的物理意义。基本形式及相关参数的物理意义。控制工程基础n2. 控制系统的传递函数n 基本要求基本要求 5. 5. 了解传递函数框图的组成及意义；能够了解传递函数框图的组成及意义；能够 根据系统的微分方程，绘制系统传递函数根据系统的微分方程，绘制系统传递函数 框图，并实现简化，从而求出系统的传递框图，并实现简化，从而求出系统的传递 函数。函数。 6. 6. 掌握闭环系统中向前通道传递函数、开掌握闭环系统中向前通道传递函数、开 环传递函数、闭环传递函数的定义及求法环传递函数、闭环传递函数的定义及求法 。掌握干扰作用下，系统的输出及传递函。掌握干扰作用下，系统的输出及传递函 数的求法和特点。数的求法和特点。 7. 7. 了解相似原理的概念。了解相似原理的概念。控制工程基础n2. 控制系统的传递函数n本章重点 1. 1. 系统微分方程的列写。系统微分方程的列写。 2. 2. 传递函数的概念，特点及求法；典型环传递函数的概念，特点及求法；典型环 节的传递函数。节的传递函数。 3. 3. 系统的方框图及其化简。n本章难点 1. 1. 系统微分方程的列写。系统微分方程的列写。 2. 2. 系统的方框图及其化简。控制工程基础n2.1 概述n2.1.1 什么是数学模型控制系统的数学模型是描述系统或环节内部、外部各 物理量（或变量）之间动、静态关系的数学表达式或图形 表 达式或数字表达式。亦：描述系统性能的数学表达式（或 数 字、图像表达式）。控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学 模型的方法 可以不同，不同的模型形式适用于不同的分 析 方法。控制工程基础n2.1 概述n2.1.2 为什么建立数学模型控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题 从 定性的认识上升到定量的精确认识的关键！（这一点非常 重 要，数学的意义就在于此）n2.1.3 建立数学模型的依据通过系统本身的物理特性来建立。如力学三大定律、 流体力学定律、电学定律、欧姆定律、克希霍夫定律等。控制工程基础n2.1 概述n2.1.4 数学模型的特点1、实物（抽象）数学表达式2、不同的控制系统可以具有相同的数学模型即可用同一个数学模型去描述不同的系统，如，单摆 在 平衡位置附近的自由运动 电阻、电容、电感电路中电容 的 放电过程都是衰减振荡。相似系统：控制系统中具有相同的数学模型的系统。3、同一控制系统可以有不同的数学模型控制工程基础n2.1 概述n2.1.5 数学模型的分类1、微分方程 时间域 t 单输入 单输出2、传递函数 复数域 s=+i - - -3、频率特性 频率域 - - -4、状态方程 时间域 t 多输入 多输出用一组微分方程描述系统的状态特性控制工程基础n2.2 微分方程n2.2.1 控制系统微分方程的分类微分方程是基本的数学模型，是列写传递函数的基微分方程是基本的数学模型，是列写传递函数的基 础础. . （1 1）线性系统）线性系统如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为线性系如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为线性系 统。统。线性系统两个重要性质。线性系统两个重要性质。n齐次性(均匀性)如果系统在输入如果系统在输入x x( (t t) )作用下的输出为作用下的输出为Y Y( (t t) )， 并记为：并记为： x x( (t t) ) y y( (t t) )则则 kxkx( (t t) ) kyky( (t t) )式中式中k k为常数，称为齐次性。为常数，称为齐次性。控制工程基础2.2 2.2 微分方程微分方程n叠加性n n若系统在输入若系统在输入x x1(1(t t) )作用下的输出为作用下的输出为y y1(1(t t),),而而 在另一个输入在另一个输入x x2(2(t t) )作用下的输出为作用下的输出为y y2(2(t t) )， 并记为并记为x x1 1( (t t) ) y y1 1( (t t) )x x2 2( (t t) ) y y2 2( (t t) )n n则以下关系则以下关系x x1 1( (t t) + ) + x x2 2( (t t) ) y y1 1( (t t)+ )+ y y2 2( (t t) )称为叠加性或叠加原理。称为叠加性或叠加原理。控制工程基础2.2 2.2 微分方程微分方程（2 2）非线性系统）非线性系统如果系统的数学模型是如果系统的数学模型是非非线性的，这种系统称线性的，这种系统称 为非线性系统。为非线性系统。工程上常见的非线性特性如下：工程上常见的非线性特性如下： 饱和非线性 死区非线性 间隙非线性 摩擦非线性控制工程基础2.2 2.2 微分方程微分方程（3 3）举例）举例 下列微分方程描述的系统为线性系统：下列微分方程描述的系统为线性系统：下列微分方程描述的系统为非线性系统：下列微分方程描述的系统为非线性系统：控制工程基础 2.2 2.2 微分方程微分方程（4 4）表达系统输入、输出之间动态关系的微分方程： i=0,1n j=0,1,mn线性定常系统 ai,bj 都不是xo(t)和xi(t)及它们导数的函数，也不是时间的函数；n线性时变系统 ai,bj 是时间的函数；n非线性系统 ai,bj 有一个依赖xo(t)和xi(t)它们导数，或者在微分方程中出现时间的其他函数 形式。控制工程基础n n2.2.2 2.2.2 系统微分方程的建立系统微分方程的建立n n两种方法是相辅相成的。两种方法是相辅相成的。控制工程基础n n2.2.2 2.2.2 系统微分方程的建立系统微分方程的建立(Km为转矩常数)(ed为感应反电势, Kd为反电势常数)(ia为电枢电流)注意： 习惯上将系统（元件）的输出及输出的各阶导数放在等式 的左边，输入及输入的各阶导数放在等式的右边； 由于系统总是存在着储能元件，一般地，等式左边的阶次 高于右边的阶次； 上式中左边输出的最高阶次为二，称该系统为二阶系统。 控制工程基础2.3 2.3 拉普拉斯拉普拉斯( (LaplaceLaplace) )变换变换在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法。拉普拉斯变换（简称拉氏变换）就是其中的一种。拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。用拉普拉斯变换分析和综合线性系统（如线性电路）的运动过程在工程上有着广泛的应用。本节将扼要地介绍拉氏变换的基本概念、主要性质、拉氏逆变换及拉氏变换的简单应用。控制工程基础2.3 2.3 拉普拉斯拉普拉斯( (LaplaceLaplace) )变换变换（1 1）拉普拉斯变换的定义）拉普拉斯变换的定义s：拉普拉斯算子，复变量， f(t)：原函数（时间域、实域）F(s)：象函数（s 域、复数域）控制工程基础控制工程基础 （2 2）拉普拉斯变换的主要性质）拉普拉斯变换的主要性质1 1）线性性质）线性性质 设设L L f f1 1( (t t)=)=F F1 1( (s s) )，L L f f2 2( (t t)=)=F F2 2( (s s) )，k k1 1，k k2 2为常数 ， 则2 2）微分性质）微分性质 若若L L f f( (t t)=)=F F( (s s) )，且，且f f( (0 0)=)=0 0，（初始条件为零）则，（初始条件为零）则控制工程基础 （2 2）拉普拉斯变换的主要性质）拉普拉斯变换的主要性质3 3）积分定理）积分定理 若若L L f f( (t t)=)=F F( (s s) )，且初始条件为零，且初始条件为零，则4 4）平移定理）平移定理 若若L L f f( (t t)=)=F F( (s s) )，则有，则有控制工程基础 （2 2）拉普拉斯变换的主要性质）拉普拉斯变换的主要性质5 5）初值定理）初值定理 若若L L f f( (t t)=)=F F( (s s) )，则6 6）终值定理）终值定理 若若L L f f( (t t)=)=F F( (s s) )，则有，则有控制工程基础 （2 2）拉普拉斯变换的主要性质）拉普拉斯变换的主要性质7 7）时域位移定理（延迟定理）时域位移定理（延迟定理） 若若L L f f( (t t)=)=F F( (s s) )，对任一正实数对任一正实数a a有有则控制工程基础（3 3）拉普拉斯）拉普拉斯( (LaplaceLaplace) )反变换反变换1 1）拉普拉斯反变换的定义）拉普拉斯反变换的定义2 2）拉普拉斯反变换的应用）拉普拉斯反变换的应用n n求解微分方程求解微分方程n n求原函数求原函数控制工程基础2.4 传递函数n2.4.1 传递函数的定义传递函数是经典控制理论对线性系统进行研究、分析和综合的数学工具。通过传递函数可以将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，大大简化了计算工作量，而且由传递函数导出的频率特性还具有物理意义，运用线性系统的传递函数和频率特性有利于对系统研究、分析和综合 。控制工程基础2.4 传递函数n2.4.1 传递函数的定义线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。三要素：1) 线性定常系统2) 零初始条件,即在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为0。3) 输出与输入的拉氏变换之比（复域模型）控制工程基础2.4.2 传递函数的求法（1）解析法（根据定义求取）设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t)，描述系统的微分方程的一般形式为 : 式中，nm; an，bm均为系统结构参数所决定的定常数 。（n，m=0、1、2、3）如果变量及其各阶导数初值为零（初始条件为零）如果变量及其各阶导数初值为零（初始条件为零） ，取等式两边拉氏变换后得，取等式两边拉氏变换后得 根据传递函数的定义，即得系统的传递函数G(s)为控制工程基础2.4.2 传递函数的求法控制工程基础2.4.2 传递函数的求法（2 2）实验法）实验法 （3 3）例：）例：试写出具有下述微分方程式的传递函数试写出具有下述微分方程式的传递函数 。 1）2）解：取拉氏变换并求商得 1）2）控制工程基础2.4.3 传递函数的性质1 1）传递函数是通过输入和输出之间的关系来描述系）传递函数是通过输入和输出之间的关系来描述系 统本身特性的，而系统本身特性与输入量无关；统本身特性的，而系统本身特性与输入量无关；2 2）传递函数不表明所描述系统的物理结构，不同的 物理系统，只要它们动态特性相同，就可用同一传递 函数来描述。这样的系统称为相似系统。 控制工程基础2.4.3 传递函数的性质3 3）传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的；）传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的；4 4）传递函数是复变量s的有理分式。对