矩阵的正交三角化及应用本节介绍初等反射阵及平面旋转阵，矩阵正交约 化，它们在矩阵计算中起着重要作用.5.7.1 初等反射阵定义9 设向量wRn且wTw=1，称矩阵H(w)=I-2wwT为初等反射阵(或称为豪斯霍尔德(Householder)变换). 如果记w =(w1,w2,wn)，则定理25 设有初等反射阵H(w)=I-2wwT, 其中 wTw=1, 则(1) H是对称矩阵, 即HT=H.(2) H是正交矩阵, 即H-1=H.(3) 设A为对称矩阵, 那么A1=H-1AH=HAH亦是对称矩阵.证明 只证H的正交性, 其它显然.设向量u0, 则显然 是一个初等反射阵.定理26 设x, y为两个不相等的n维向量, |x|2=|y|2, 则存在一个初等反射阵H, 使Hx=y. 证明 令 , 则得到一个初等反射阵而且由|x|2=|y|2, 有yTy=xTx, 而数xTy=yTx, 从而所以得 Hx=x-(x-y)=y .容易说明, w是使Hx=y成立的唯一长度等于1的向量(不计符号).定理27(约化定理) 设x=(x1,x2,xn)T0, 则存在 初等反射阵H, 使Hx=-e1, 其中5.7.2 平面旋转阵设x, yR2, 则变换是平面上向量的一个旋转变换，其中为正交矩阵.Rn中变换：y=Px，称为Rn中平面xi, xj的旋转变换(或称为吉文斯 (Givens)变换)，P=P(i,j,)=P(i,j)称为平面旋转矩阵.其中x=(x1,x2,xn)T, y=(y1,y2,yn)T, 使而显然，P(i, j,)具有性质：(1) P与单位阵I只是在(i, i), (i, j), (j, i) , (j, j)位置元 素不一样，其它相同.(2) P为正交矩阵(P-1=PT).(3) P(i, j)A(左乘)只需计算第i行与第j行元素，即 对A=(aij)mn有其中，c=cos，s=sin.(4) AP(i, j)(右乘)只需计算第i列与第j列元素，即利用平面旋转变换，可使向量x中的指定元素变为零.定理28(约化定理) 设x=(x1,xi , xj , xn)T, 其 中xi, xj不全为零，则可选择平面旋转阵P(i, j,) ，使其中证明 取 由利用矩阵乘 法，显然有于是，由c, s的取法得5.7.3 矩阵的QR分解下面讨论用正交矩阵来约化矩阵，可得到下述结果.设有设ARmn且为非零矩阵，则存在初等反射矩阵 H1, H2, , Hs使(1) 第1步约化：如果a1=0，取H1=I，即这一步不 需要约化，不妨设a10，于是可选取初等反射阵使于是其中(2) 第k步约化：设已完成对A上述第1步第k-1 步的约化，再进行第k步约化. 即存在初等反射阵H1, H2, , Hk-1使其中这里, Rk为k-1阶上三角阵,不妨设ck0, 否则这一步不需要约化(如果A列满秩 , 则ck0). 于是, 可选取初等反射阵使令第k步约化为令s=min(m-1, n), 继续上述过程, 最后有总结上述讨论给出下述结果.定理29(矩阵的正交约化定理) 设ARmn且A0, s=min(m-1, n), 则存在初等反射阵H1, H2, , Hs使且计算量约为n2m-n3/3(当mn)次乘法运算.(2) 设ARnn为非奇异矩阵, 则A有分解定理30(矩阵的QR分解) 其中R为n阶非奇异上三角阵.(1) 设ARmn且A的秩为n(mn), 则存在初等反射 阵H1, H2, , Hn使A=QR, 其中Q为正交矩阵, R为上三角阵. 且当R具有正对角元 素时, 分解唯一.证明 (1)由定理29可得.(2) 由设及定理29存在初等反射阵H1, H2, , Hn-1使记QT=Hn-1H2H1, 则上式为QTA=R, 即 A=QR, 其中Q为正交矩阵, R为上三角阵. 唯一性, 设有A=Q1R1 =Q2R2, 其中Q1, Q2为正交矩阵, R1, R2为非奇异上三角阵, 且R1, R2具有正对角元素,则由假设, 及对称正定矩阵ATA的Cholesky分解的唯一性, 则R1=R2. 从而可得Q1=Q2.下面考虑平面旋转变换来约化矩阵.定理31(用吉文斯变换计算矩阵的QR分解) 设 ARnn为非奇异矩阵, 则(1) 存在正交矩阵P1, P2, , Pn-1使(2) A有QR分解: A=QR. 其中Q为正交阵, R为非奇异上三角阵. 且当R对角元素 都为正时, 分解是唯一的.