湘教版 2018 年九年级上册数学教案2 22 2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法2 22.12.1 配方法配方法教学目标 【知识与技能】 1知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程 2学会用直接开平方法解形如(axb)2k0(k0)的方程 3理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中， 让学生进一步体会化归的思想方法 【过程与方法】 通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法 【情感态度】 学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学 的兴趣 【教学重点】 运用配方法解一元二次方程 【教学难点】 把一元二次方程转化为形如(xn)2d(d0)的过程 教学过程 一、情景导入，初步认知 1根据完全平方公式填空： (1)x26x9( )2 (2)x28x16( )2 (3)x210x( )2( )2 (4)x23x( )2( )2 2前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基 本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)由解二元一次方程组的基本思 路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？ 3你会解方程 x26x160 吗？你会将它变成(xm)2n(n 为非负数)的形式吗？试 试看如果是方程 2x213x 呢？ 【教学说明】学会利用完全平方知识填空，初步配方为后面学习打下基础 二、思考探究，获取新知 1解方程：x225000. 问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程？ 把方程写成 x22500 这表明 x 是 2500 的平方根，根据平方根的意义，得 x或 x25002500因此，原方程的解为 x150，x250 【归纳结论】一元二次方程的解也是一元二次方程的根 2解方程(2x1)22 解：根据平方根的意义，得湘教版 2018 年九年级上册数学教案2x1或 2x122因此，原方程的根为x1，x22122123通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？ 【归纳结论】对于形如(xn)2d(d0)的方程，可直接用开平方法解 直接开平方法的步骤是：把方程变形成(xn)2d(d0)，然后直接开平方得 xn 和 xn，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解 4解方程 x24x12 我们已知，如果把方程 x24x12 写成(xn)2d 的形式，那么就可以根据平方根的 意义来求解 那么，如何将左边写成(xn)2的形式呢？ 我们学过完全平方式，你能否将左边 x24x 添上一项使它成为一个完全平方式请相 互交流 写出解题过程 【归纳结论】一般地，像上面这样，在方程 x24x12 的左边加上一次项系数的一半 的平方，在减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方配方、 整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了这种解一元二次方程的方法叫作配方法 5如何用配方法解方程 25x250x110 呢？ 如果二次项系数为 1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为 1 呢？同伴之间可以 相互交流 试着写出解题过程 6通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤 吗？ 【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤： (1)把方程化为一般形式 ax2bxc0； (2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (3)若方程的二次项系数不为 1 时，方程两边同时除以二次项系数 a； (4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两 个一元一次方程来解 【教学说明】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般 形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次 方程的基本思路是将一元二次方程转化为(xn)2d(d0)的形式 三、运用新知，深化理解 1见教材P33 例 3、P34 例 4. 2列方程(注：学生练习，教师巡视，适当辅导) (1)x210x240； (2)(2x1)(x3)5； (3)3x26x40. 解：(1)移项，得 x210x24 配方，得 x210x252425， 由此可得(x5)21， x51，湘教版 2018 年九年级上册数学教案x16，x24. (2)整理，得 2x25x80. 移项，得 2x25x8二次项系数化为 1 得 x2 x4，5 2配方，得 x2 x( )24( )25 25 45 4(x )2，5 489 16由此可得 x ，5 4894x1，x2.5 8945 894(3)移项，得 3x26x4二次项系数化为 1，得 x22x ，4 3配方，得 x22x12 12，4 3(x1)21 3因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x1)2都是非负数，上式都不成 立，即原方程无实数根 3解方程 x28x10 分析：显然这个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方 式 解：x28x10 移项得：x28x1 配方得：x28x16116 即(x4)215 两边开平方得：x415x14，x24.15154用配方法将下列各式化为 a(xh)2k 的形式(1)3x26x1；(2) y2 y2；2 31 3(3)0.4x20.8x1. 解：(1)3x26x13(x22x )1 33(x22x1212 )1 33(x1)2 4 33(x1)24湘教版 2018 年九年级上册数学教案(2) y2 y22 31 3 (y2 y3)2 31 2 y2 y( )2( )232 31 21 41 4 (y )22 31 449 16 (y )2.2 31 449 24(3)0.4x20.8x1 0.4(x22x2.5) 0.4(x22x12)122.5 0.4(x1)21.4 【教学说明】通过练习，使学生能灵活运用“配方法” ，并强化学生对一元二次方程解 的认识 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结教师作以补充 课后作业 布置作业：教材“习题 2.2”中第 1、2、3 题 教学反思 在教学过程中，坚持由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比，合作探究 等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究发现结论，教师 做学生学 习的引导者，合作者，促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动同时，我认识到教师不仅 仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习 能力，让学生学会学习2 22.22.2 公式法公式法教学目标教学目标【知识与技能】 1经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练 2会用公式法解简单系数的一元二次方程 【过程与方法】 通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想 【情感态度】 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感， 感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感 【教学重点】 求根公式的推导和公式法的应用 【教学难点】湘教版 2018 年九年级上册数学教案理解求根公式的推导过程 教学过程 一、情景导入，初步认知 1用配方法解方程： (1)x23x20；(2)2x23x50. 2由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用 了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程 ax2bxc0(a0)使用这些步骤，然后求出解 x 的公式？ 【教学说明】这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的 解，取得一通百通的效果 二、思考探究，获取新知 1用配方法解方程：ax2bxc0(a0) 分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把 a、b、c 也当成一个具体数字，根据 上面的解题步骤就可以一直推下去 解：移项，得：ax2bxc 因为 a0，所以方程两边同除以 a 得：x2 xb ac a配方，得：x2 x()2 ()2b ab 2ac ab 2a即(x)2b 2ab24ac 4a2a0，4a20当 b24ac0，0b24ac 4a2xb 2ab24ac2a即 xb b24ac2ax1，b b24ac2ax2.b b24ac2a当 b24ac0xb b24ac2a7 252 27 5 4即 x13，x2 .1 22某数学兴趣小组对关于 x 的方程(m1)xm21(m2)x10 提出了下列问题 (1)若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程 (2)若使方程为一元一次方程 m 是否存在？若存在，请求出 你能解决这个问题吗？ 分析：(1)要使它为一元二次方程，必须满足 m212，同时还要满足(m1)0. (2)要使它为一元一次方程，必须满足或或m211 （m1）（m2） 0)m210 m2 0)m10 m2 0)解：(1)存在根据题意，得：m212 m21 m1 当 m1 时，m11120 当 m1 时，m1110(不合题意，舍去) 当 m1 时，方程为 2x21x0 a2，b1，c1 b24ac(1)242(1)189x（1） 92 21 3 4x11，x2 .1 2因此，该方程是一元二次方程时，m1，两根 x11，x2 .1 2湘教版 2018 年九年级上册数学教案(2)存在根据题意，得：m211，m20，m0 因为当 m0 时，(m1)(m2)2m110 所以 m0 满足题意 当 m210，m 不存在 当 m10，即 m1 时，m230 所以 m1 也满足题意 当 m0 时，一元一次方程是 x2x10， 解得：x1 当 m1 时，一元一次方程是3x10解得 x1 3因此，当 m0 或1 时，该方程是一元一次方程，并且当 m0 时，其根为 x1；当m1 时，其一元一次方程的根为 x .1 3【教学说明】主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根 公式 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结教师作以补充 课后作业 布置作业：教材“习题 2.2”中第 4 题湘教版 2018 年九年级上册数学教案教学反思 通过复习配方法使学生会对一元二次方程的定义及解法有一个熟悉的印象然后让学生 用配方法推导一般形式 ax2bxc0(a0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方 程根的情况使学生的推理能力得到加强2 22.32.3 因式分解法因式分解法湘教版 2018 年九年级上册数学教案教学目标 【知识与技能】 能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程能够根据 一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法 【过