绝密绝密启用前启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设，则1 i2i1 iz| z A B C D01 2122已知集合，则220Ax xxA RA B 12xx 12xx CD |1|2x xx x |1|2x xx x 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4设为等差数列的前项和，若，则nS nan3243SSS12a 5aA B C D121010125设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为32( )(1)f xxaxax( )f x( )yf x(0,0)ABCD2yx yx 2yxyx6在中，为边上的中线，为的中点，则ABCADBCEADEB ABCD31 44ABAC 13 44ABAC 31 44ABAC 13 44ABAC 7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱MA表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度NBMN为ABC3D2172528设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为的直线与 C 交于 M，N 两点，则2 3FM FN =A5 B6 C7 D89已知函数若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是e0( )ln0xxf xxx， ，( )( )g xf xxaA1，0） B0，+） C1，+） D1，+）10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，ACABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为 II，其余部分记为 III在整个图形中随机取一点，此点取自 I，II，III 的概率分别记为 p1，p2，p3，则Ap1=p2Bp1=p3Cp2=p3Dp1=p2+p311已知双曲线 C：，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点2 213xy分别为 M、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|=AB3CD43 22 312已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为ABC D3 3 42 3 33 2 43 2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若，满足约束条件，则的最大值为_xy220 10 0xy xy y 32zxy14记为数列的前项和，若，则_nS nan21nnSa6S 15从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种 （用数字填写答案）16已知函数，则的最小值是_ 2sinsin2f xxx f x三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17 （12 分）在平面四边形中，.ABCD90ADC45A2AB 5BD （1）求；cosADB（2）若，求.2 2DC BC18 （12 分）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点ABCD,E F,AD BCDFDFC到达点的位置，且.CPPFBF（1）证明：平面平面；PEF ABFD（2）求与平面所成角的正弦值.DPABFD19 （12 分）设椭圆的右焦点为，过的直线 与交于两点，点的坐标为.2 2:12xCyFFlC,A BM(2,0)（1）当 与轴垂直时，求直线的方程；lxAM（2）设为坐标原点，证明：.OOMAOMB 20 （12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格) 10( pp品相互独立学科XEX（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21 （12 分）已知函数1( )lnf xxaxx（1）讨论的单调性；( )f x（2）若存在两个极值点，证明：( )f x12,x x 12122f xf xaxx（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐xOy1C| |2yk xx标系，曲线的极坐标方程为.2C22 cos30（1）求的直角坐标方程；2C（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.1C2C1C23选修 45：不等式选讲（10 分）已知.( ) |1|1|f xxax（1）当时，求不等式的解集；1a ( )1f x （2）若时不等式成立，求的取值范围.(0,1)x( )f xxa参考答案：123456789101112CBABDABDCABA13.6 14. 15.16 16.633 3 217.（12 分）解：（1）在中，由正弦定理得.ABDsinsinBDAB AADB由题设知，所以.52 sin45sinADB2sin5ADB由题设知，所以.90ADB223cos1255ADB（2）由题设及（1）知，.2cossin5BDCADB在中，由余弦定理得BCD2222cosBCBDDCBD DCBDC 22582 5 2 25 .25所以.5BC 18.（12 分）解：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以 BF平面 PEF.又平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.BF （2）作 PHEF，垂足为 H.由（1）得，PH平面 ABFD.以 H 为坐标原点，的方向为 y 轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系HF|BF Hxyz.由（1）可得，DEPE.又 DP=2，DE=1，所以 PE=.又 PF=1，EF=2，故 PEPF.3可得.33,22PHEH则为平面 ABFD 的法向量.3333(0,0,0),(0,0,),( 1,0),(1,),2222HPDDP 3(0,0,)2HP 设 DP 与平面 ABFD 所成角为，则.3 34sin|4| |3HP DP HPDP 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为.3 419.（12 分）解：（1）由已知得，l 的方程为 x=1.(1,0)F由已知可得，点 A 的坐标为或.2(1,)22(1,)2所以 AM 的方程为或.222yx 222yx（2）当 l 与 x 轴重合时，.0OMAOMB 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以.OMAOMB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为，(1)(0)yk xk1221( ,), (,)AyxyxB则，直线 MA，MB 的斜率之和为.122,2xx212122MAMBxxyykk由得1122,ykkxykxk.121212(23 ()4 2)(2)MAMBx xxxkk xxkkk将代入得(1)yk x2 212xy.2222(21)4220kxk xk所以，.21221222422,2121xxxkk kxk则.3131322244128423 ()4021kkkkkkkkkx xxx从而，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以.0MAMBkkOMAOMB 综上，.OMAOMB 20.（12 分）解：（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为.因此2218 20( )C(1)f ppp.218217217 2020( )C 2 (1)18(1) 2C(1) (1 10 )fpppppppp令，得.当时，；当时，.( )0fp0.1p (0,0.1)p( )0fp(0.1,1)p( )0fp所以的最大值点为.( )f p00.1p （2）由（1）知，.0.1p （i）令表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知，Y(180,0.1)YB:，即.20 225XY 4025XY所以.(4025 )4025490EXEYEY（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元.由于，故应该对余下的产品作检验.400EX 21.（12 分）解:（1）的定义域为，.( )f x(0,)22211( )1axaxfxxxx （i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.2a ( )0fx2a 1x ( )0fx( )f x(0,)（ii）若，令得，或.2a ( )0fx24 2aax24 2aax当时，；2244(0,)(,)22aaaaxU( )0fx当时，.所以在单2244(,)22aaaax( )0fx( )f x2244(0,),(,)22aaaa调递减，在单调递增.2244(,)22aaaa（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.( )f x2a 由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于( )f x12,x x210xax 121x x 12xx21x ，1212122121212122 2()()lnlnlnln2ln11221f xf xxxxxxaaaxxx xxxxxxx