信阳师范学院本科毕业论文专 业 数学与应用数学 年 级 姓 名 论文题目 数学分析中的极限问题 指导教师 职称 * 年 *月 * 日目 录摘 要 .述 . 极限的产生与发展 . 极限问题的类型 .见的极限求解方法 . 简单求极限的方法 . 利用两个重要极限公式求极限 . 利用洛必达法则求极限 . 利用极限的四则运算法则求极限 . 利用等价无穷小替换求极限 . 利用定积分求极限 . 利用泰勒公式求极限 . 两边夹法则求极限 . 利用单侧极限求极限 .10 利用中值定理求极限 .* 学号：*数学与计算机科学系 数学与应用数学专业指导教师：* 职称：*摘 要： 极限是数学分析这门学科的基础，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，贯穿整个数学分析的始末. 本文主要是对数学分析中的极限的产生与发展，以及常见极限的若干常规解法进行了讨论和研究. 本文的重点在第二章，具体介绍了运用四则运算法则、两个重要极限、两 边夹法则、则运算法则；洛比达法则；泰勒公式；is of of of of of is to of as as of In of of in to 从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法，能够通过旧事物的量的变化规律，去计算新事物的量. 因此，极限具有由此达彼的重大创新作用. 同时，极限是研究微积分的理论基础和基本手段，它一直贯穿于该学科的始终. 极限的思想方法不仅在整个分析学的建立和发展中起着基本作用，而且还广泛应用于其他数学分支和自然科学. 同时，着科学技术的不断发展，社会生产力的不断提高，在数学的发展史上将发挥越来越重要的作用. 因此，探讨如何求极限、怎样使求极限变得容易，是一个非常具有现实意义的重要问题. 求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要清楚认识各种极限的类型，极限的方法繁多且变化灵活，不易掌握. 本文在总结各种常用的求极限方法的同时，更重要的是，也会提出一些创新的极限求解方法，希望能够开拓思路，起到抛砖引玉的作用. 限的产生与发展早在两千多年前，我国的惠施就在庄子的天下篇中有一句著名的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，惠施提出了无限变小的过程， 225 年295 年）的割圆术，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆周，刘徽计算了圆内接正 3072 边形的面积和周长，从而推得 到同样精确度的小数. 这扇窗口闪烁着我国古代数学家的数学水平和才能的光且是一面旗帜，纪前后，欧洲资本主义的萌芽和文艺复兴运动促进了生产力和自然科学的发展. 17 世纪，牛顿和莱布尼兹在总结前人经验的基础上，创立了微积分. 随着微积分应用的更加广泛和深入，遇到的数量关系也日益复杂，积分的薄弱之处也越来越暴露出来，严格的极限定义就显得十分迫切需要. 经过近百年的争论，直到 19 世纪上半叶人们通过对无穷级数的研究和总结，明确的认识了极限的概念. 德国著名数学家维尔斯特拉斯通过静态刻板的定义，描述了无限的过程，刻画了极限，对于数列 如果找到一个实数 ，无论预先指定多么小的正数 ，能够在数列中找到一项 ，使得这一项后面的所有项与 的差的绝对值都小于把这个实数 叫做数列 的极限.a限问题的类型数列极限定义 设 为实数数列， 为定数，任意 ，总存在正整数 ,使，有 ，则称数列 收敛于 ，定数 称为数列 的极nNa画了 与 的无限接近程度， 愈小，表示接近得愈好；正数 可以任意地小，说明 与 可以接近到任何程度. 然而，尽管 有其任 意性，但一经给出正整数 就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出 ，又,N既是任意小的正数，那么 , 的平方等等同样也是任意小的正数，因此定义中2不定式 中的 可用 , 的平方等来代替. 同时，正由于 是任意小正 数，我们可限定 设函数 在点 的某一去心邻域有定义，如果存在常数 ，()对于任意给定的正数 ，总存在正整数 ，当 x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式 ，那么常数 A 就叫做函数 当()()作