3.1.1 变化率问题微积分主要与四类问题的处理相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。问题1 气球膨胀率在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了气球的平均膨胀率为当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了气球的平均膨胀率为随着 气球体积 逐渐变大, 它的平均 膨胀率逐 渐变小思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?问题2 高台跳水在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单 位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么:在0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并 思考下面的问题:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。探究：时间时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.518.633.4现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210（注： 3月18日 为第一天）例题：t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义 是什么？（形与数两方面）问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？（1）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想 如何量化直线的倾斜程度。t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210（2）由点B上升到C点，必须考察yCyB的大小，但 仅仅注意yCyB的大小能否精确量化BC段陡峭程度？ 在考察yCyB的同时必须考察xCxB，函数的本质在 于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一 个量的改变。t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210(3)我们用比值 近似地量化B、C这一段曲线的 陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平均变化率(4)分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平均 变化率现在回答问题“气温陡增” 它的数学意义是什么？ （形与数两方面）定义:平均变化率: 式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,则理解： 1，式子中x 、 y 的值可正、可负，但的 x值不能为0， y 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， y =0 3, 变式思考: 观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyY=f(x )x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线AB的 斜率练习： 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(- 1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x D 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+x 3.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?4.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = 2 x, 分别计算在下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.(1) 3 , 1 ; (2) 0 , 5 .小结： 1.函数的平均变化率 2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量 y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率