第第1 1页页小波变换在信号处理中的应用小波变换在信号处理中的应用一、从傅里叶变换到小波变换一、从傅里叶变换到小波变换二、连续小波变换二、连续小波变换三、一维离散小波变换与重构三、一维离散小波变换与重构四、二维离散小波变换与重构四、二维离散小波变换与重构五、几种常用小波五、几种常用小波六、举例（基于六、举例（基于MatlabMatlab环境）环境）第第2 2页页小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法，我们可以先粗略地区分一下时域分析和 频域分析。时域分析的基本目标：- 边缘检测和分割；- 将短时的物理现象作为一个瞬态过程分析。频域分析的基本目标：区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量。一、从傅里叶变换到小波变换第第3 3页页一、从傅里叶变换到小波变换（1）傅立叶变换的定义 1. 连续傅立叶变换对离散傅立叶变换对第第4 4页页2. 傅立叶变换的实质傅里叶变换的实质是：把f(t)这个波形分解成许多不同频率 的正弦波的叠加和。这样我们就可以将对原函数f(t)的研究 转化为对其权系数，及傅里叶变换F()的研究。从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及高次谐波组成 的，因此它在频域内是局部化的。第第5 5页页3. 傅立叶变换的局限性由左图我们看不出任何频域的性质，但从右图中 我们可以明显看出该信号的频率成分，也可以明显的 看出信号的频率特性。虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特 征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不 能把两者有机的结合起来。在实际信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的 处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。第第6 6页页（2）短时傅立叶变换基本思想：把非稳态信号看成一系列短时平 稳信号的叠加，这个过程是通过加时间窗来实现 的。一般选用能量集中在低频处的实的偶函数作 为窗函数，通过平移窗函数来实现时间域的局部 化性质。其表达式为：其中“”表示复共轭，g(t)是有紧支集的函数，f(t) 是被分析的信号，在这个变换中， 起着频限 的作用，g(t)起着时限的作用。随着时间 的变化 ，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，使f(t)“逐渐 ” 进行分析。第第7 7页页g(t)往往被称之为窗口函数， 大致反映了f(t)在 时刻 频率处“信号成分”的相对含量。这样信号在窗函数上的 展开就可以表示为 在这一区域内的状 态，并把这一区域称为窗口， 和 分别称为窗口的时宽和 频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就 越高。很显然 和 都非常小，以便有更好的时频分析效果 ，但 和 相互制约的。 （2）短时傅立叶变换第第8 8页页（3）小波变换小波分析优于傅里叶变换的地方是，它在时域 和频域同时具有良好的局部化性质。小波变换提出了变化的时间窗。当需要精确的 低频信息时，采用长的时间窗，频率分辨率高，当 需要精确的高频信息时，采用短的时间窗，时间分 辨率高。由此可知，小波变换采用的不是时间-频率域， 而是时间尺度域。尺度越大，采用越大的时间窗 ，尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成 反比。第第9 9页页（3）小波变换第第1010页页(4) 小波的时间和频率特性运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的 变化。l时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾名思 义，小波在某时间发生的小的波动。l频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而 提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。时间A时间B第第1111页页(5) 小波的3 个特点l小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的 时间。有利于分析确定时间发生的现象。（傅里叶变 换只具有频率分析的性质）l小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特 征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）l小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信 号长度为M时， Fourier变换（左）和小波变换（右 ）计算复杂性分别如下公式：第第1212页页(6) 小波基表示发生的时间和频率Fourier变换的基（上）小波变换基（中） 和时间采样基（下）傅里叶变换(Fourier)基小波基时间采样基第第1313页页二、连续小波变换设函数，如果满足：则称为一个基本小波和小波母函数，式中为函数的傅立叶变换，上式也可称为可容性条件。 1. 连续小波变换令：， 称为基本小波或母小波(Mother Wavelet) 依赖于 生成的连续小波。式中为尺度因子，改变连续小波的形状； 为位移因子，改变连续小波的位移。连续小波 在时域空间和频域空间上都具有局部性，其作用等同于 短时傅立叶变换中的窗函数。 第第1414页页二、连续小波变换因此函数f(t)的小波变换为：尺度因子尺度因子小波小波平移参数平移参数式中为函数的复共轭，由可容性条件得：的逆变换为： 式中： 第第1515页页像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。图4表示了正弦波和小波的区别，由此可以看出，正弦波从负无穷一直延续到正无穷，正弦波是平滑而且是可预测的， 而小波是一类在有限区间内快速衰减到0的函数，其平均值为0， 小波趋于不规则、不对称。 二、连续小波变换第第1616页页二、连续小波变换图图4 4 傅立叶变换与小波变换基元傅立叶变换与小波变换基元（a a） 正弦波曲线；正弦波曲线； (b) (b) 小波曲线小波曲线 第第1717页页二、连续小波变换信号信号不同频率分量的组成不同频率分量的组成图图5 5 信号傅立叶变换过程信号傅立叶变换过程傅立叶变换过程第第1818页页18基本小波函数()的缩放和平移操作含义如下： (1) 缩放。简单地讲， 缩放就是压缩或伸展基本小波， 缩放系数越小， 则小波越窄，如图6所示。 图6 小波的缩放操作 小波变换过程第第1919页页19(2) 平移。简单地讲，平移就是小波的延迟或超前。在数学上， 函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，如图7所示。 图7 小波的平移操作 (a) 小波函数(t)； (b) 位移后的小波函数(t-k) 第第2020页页20CWT计算主要有如下五个步骤： 第一步： 取一个小波， 将其与原始信号的开始一节进行比较。 第二步： 计算数值 C， C 表示小波与所取一节信号的相似程度，计算结果取决于所选小波的形状， 如图8所示。第三步：向右移动小波，重复第一步和第二步，直至覆盖整个信号，如图9所示。第四步： 伸展小波， 重复第一步至第三步， 如图10所示。 第第2121页页图8 计算系数值C 二、连续小波变换第第2222页页图9 计算平移后系数值C 二、连续小波变换第第2323页页图10 计算尺度后系数值C 二、连续小波变换第第2424页页第五步：对于所有缩放，重复第一步至第四步。小波的缩放因子与信号频率之间的关系是：缩放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信号的细节变化，表示信号频率越高；缩放因子scale越大， 表示小波越宽，度量的是信号的粗糙程度，表示信号频率越低。 二、连续小波变换第第2525页页二、连续小波变换结论：尺度因子a越小， 的波形变窄， 的频谱向高频端扩展；a越大， 波形变宽， 的频谱 向低频端扩展，从而实现过了 时间频率窗的自适应调节。连续小波变换的实质就是以基函数 的形式把 信号f(t)分解为不同频带的子信号，实现信号在不同频带、不同时刻的合理分离，也可以视为一个滤波 器。第第2626页页一维连续小波变换Matlab实现lCOEFS=cwt(S,SCALES,wname)lCOEFS=cwt(S,SCALES,wname,plot)lCOEFS=cwt(S,SCALES,wname,PLOTMODE)lCOEFS=cwt(S,SCALES,wname,PLOTMODE,XLIM)第第2727页页在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大， 将产生惊人的数据量，而且有许多数据 是无用的。如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j0且为整数）的倍数， 即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算， 就会使分析的数据量大大减少。使用这样的缩放因 子和平移参数的小波变换称为双尺度小波变换（Dyadic Wavelet Transform），它是离散小波变换（Discrete Wavelet Transform， DWT）的一种形式。通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。 三、一维离散小波变换与重构第第2828页页小波变换就是将 “ 原始信号 s ” 变换 成 “ 小波 系数 w ” ，w=wa , wd （ 近似系数wa与细节系数wd )则原始信号s可分解成小波近似a与小波细节d之和。s = a+d小波系数 w = wa , wd 的分量，乘以基函数，形成小波分 解：小波近似系数wa 基函数A=近似分解 a -平均小波细节系数wd 基函数D=细节分解 d-变化三、一维离散小波变换与重构第第2929页页小波基D小波基A原始信号小波系数wd小波系数wa正变换：原始信号在小波基上，获得 “小波系数”分量反变换：所有“小波分解” 合成原始信号例如： 小波分解 a=小波系数 wa 小波基A三、一维离散小波变换与重构第第3030页页离散小波变换公式正变换反变换其中： 是小波基函数l信号 s 有M个样本，J 级小波变换：小波分解小波系数三、一维离散小波变换与重构第第3131页页执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器， 该方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法。这种方法实际上是一种信号分解的方法， 在数字信号处理中常称为双通道子带编码。用滤波器执行离散小波变换的概念如图11所示。S表示原始的输入信号， 通过两个互补的滤波器组， 其中一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似 值A （Approximations），另一个为高通滤波器， 通过该滤波器可得到信号的细节值D（Detail）。 三、一维离散小波变换第第3232页页图11 小波分解示意图三、一维离散小波变换第第3333页页在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，表示信号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系数，表示信号的高频分量。实际应用中，信号的低频分量往往是最重要的，而高频分量只起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样， 把高频分量去掉后，听起来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。 三、一维离散小波变换第第3434页页由图11可以看出离散小波变换可以表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始信号经过一对互补的滤波器组进行的分解称为一级分解，信号的分解过程也可以不断进行下去，也就是说可以进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量进行连续分解，就可以得到信号不同分辨率下的低频分量， 这也称为信号的多分辨率分 析。如此进行下去， 就会形成图12所示的一棵比较大的分解树， 称其为信号的小波分解树（Wavelet Decomposition Tree）。实际中， 分解的级数取决于要分析的信号数据特征及用户的具体需要。 三、一维离散小波变换第第3535页页35图12 多级信号分解示意图 （a） 信号分解； (b) 小波分数； （c）小波分解树 第第3636页页对于一个信号，如采用图11所示的方法，理论上产生的数据量将是原始数据的两倍。于是，根据奈奎斯特（Nyquist）采样定理，