第五章 几何学的发展形的认识形是人类对生存空间形式的直接 认识从无规则图形逐渐制造出一些规 则的形体，形成抽象意义下的几何图形 。图5.1由鱼形演化出的不规则的几何图形从立体图形到平面图形图腾崇拜和宗教礼仪5.2 测量与几何在几何发展最早的古代埃及，几 何一词具有“土地测量”的含义。在古希 腊几何学传入中国之后，汉字用几何一词来称谓这门学科，而汉语中“几何”具 有“多少”的意思。5.2.1 经验公式古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积 的方法三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示圆面积的计算公式是A = (8d/9)2，其中d是 直径。这就等于取为3.1605。四边形的面积公式：（a + c）（b + d）/4 （其中a、b、c、d依次表示边长）。高为h、底边长为 a和 b的方棱锥的平头截 体的体积公式： V = (1/3) h (a2 + ab +b2)5.2.2 求积方法勾股术与图证 插入图5.5 “析理以辞，解体用图” “弦图” 插入 图5.7 大方 = 弦方 + 2矩形， （1）大方 = 勾方 + 股方 + 2矩形， （2）比较（1）与（2），得弦方 = 勾方 + 股方。阿基米德的双重方法用力学原理发现公式， 再用穷竭法加以证明 插入图5.11 如图5.11抛物线有内接三角形PQq，其中P与Qp中 点V的连线平行于抛物线的轴。阿基米德从物理的方法 发现：抛物线被Qp截得的抛物线弓形的面积，与三角 形QPq的面积之比是4：3。阿基米德进而使用穷竭法证 明5.2.3 多边形数插入图5.12 插入图5.13 插入图5.14 最早的演绎几何学几何原本（约公元前300年 ，古希腊数学家欧几里得）建立了第一个 数学理论体系几何学。标志着人类科 学研究的公理化方法的初步形成，几何原本共十三卷，其中 第一、三、四、六、十一和十二卷，是我 们今天熟知的平面几何和立体几何的知识 ，其余各卷则是数论和（用几何方法论证 的）初等代数知识。全书证明了465个命 题。5.3.1 原本的公理化体系原本的公理化体系：全书 先给出若干条定义和公理，再按由简到 繁的顺序编排出一系列的定理(465个命 题)。使整个几何知识形成了一个演绎 体系公设：（1） 从任一点到任一点 作直线是可能的。（2） 把有限直线不 断循直线延长是可能的。（注意，这里 所谓的直线，相当于今天我们所说的线 段。）（3） 以任一点为中心和任一距 离为半径作一圆是可能的。（4） 所有 直角彼此相等。（5） 若一直线与两直 线相交，且若同侧所交两内角之和小于 两直角，则两直线无限延长后必相交于 该侧的一点（现今称为平行公理）。公理： （1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相 等的。（2） 等量加等量，总量仍相等。（3） 等量减等量，余量仍相等。（4） 彼此重合的东西是相等的。（5） 整体大于部分。 从现代公理化方法的角度来分析，原本的公理化体系 存在着以下一些缺陷。没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上原本的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得 在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. 但 是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的例如, 每一个三角形都是等腰的“证明” 插入图5.185.3.2 原本中的几何方法原本在证明相关结论中使用了多种 几何方法，如,叠合法,归谬法,代数式的几 何证法,等等。这些方法是人类早期研究图 形性质的数学方法，在现代基础教育中仍 发挥着积极的作用。举例如下： 毕德哥拉斯定理，原本使用几何的证 法如下： 如图5.19，先证明ABDFBC，推得矩形 BL与正方形GB等积。同理推得矩形CL与正 方形AK等积。 5.4 三大作图问题与圆锥曲线三个作图问题：倍立方，即求作一立方体的边，使 该立方体的体积为给定立方体的两倍；三等分角，即分一个给定的任意角 为三个相等的部分；化圆为方，即作一正方形，使其与 一给定的圆面积相等。直到19世纪，才证实了只用圆规和直尺来 求解这三个作图题的不可能性，然而对这 三个问题的深入探索引出大量的发现。 其中包括圆锥曲线理论梅内克缪斯（约公元前4世纪）最先发现 了圆锥曲线： 插入图5.24阿波罗尼斯的圆锥曲线论将圆锥曲 线的性质全部囊括其中圆锥曲线的定义方法如下： 插入图5.255.5 坐标几何与曲线方程思想17世纪法国数学家笛卡尔和费马创 立的。这两位数学家敏锐地看到欧氏几 何方法的局限性，认识到利用代数方法 来研究几何问题，是改变传统方法的有 效途径。 并为此开始了各自的研究工 作，把代数方程和曲线、曲面的研究联 系在一起笛卡尔的工作几何学是笛卡尔哲学思想方法实践的重要结果 首先运用代数方法解决作图的问题，指出，几何作图 实质是对线段作加减乘除或平方根的运算，所以它们都可 以用代数的术语表示。假定某几何问题归结为寻求一个未 知长度x，经过代数运算知道x满足 x= ，他画出x的方法如下：如图5.27作直角三角形NLM，其 中LM=b , NL=a/2, 延长MN到O，使NO=NL=a/2。于是x就是 OM 的长度。 插入图5.27 曲线与方程的思想明确指出：几何曲线可以用唯一的 含x和y有限次代数方程来表示的曲线费马的工作费马关于曲线与方程的思想，源于 对阿波罗尼兹圆锥曲线的研究。 他使用 了倾斜坐标系，建立了圆锥曲线的代数 表述式。5.6 罗巴切夫斯基几何学在欧几里得几何学中第五公设（即 平行公理）的研究过程中，人们不自觉 地将得到了许多第五公设的等价命题。 发现了罗巴切夫斯基几何学5.6.1 第五公设及其等价命题等价命题普莱菲尔的平行公理：过直线外一点只能作 一条直线平行于该直线三角形三个内角之和等 于两个直角； 每个三角形的内角和都相同； 通过一角内任一点可以作与此角两边相交的截 线； 存在两个相似而不全等的三角形； 毕达哥拉斯定理； 过不在一直线上的三点可作一圆； 圆内接正六边形的一边等于此圆的半径； 四边形的内角和等于四个直角；一。个等价命题的证明：如果任意三角形内角和 都等于，那么过线a外一点A只能引进一 条直线与a不交。 证明 过A引a的垂线AB，并过A引AB的垂线b ，则a与b必定不交。如图5.29。 假如另有一条直线AC与a不交，记锐角 BAC为，在直线a上取点B1，使B1、C在AB 同侧，且使AB1B= 。 按假设，直角ABB1内角和等于，所以 B1AB=aCAB=，（因为）。 于是，作得一个ABB1,而直线AC经过其内部 ，所以AC必与底边BB1相交。这与AC与a不相交 的假设矛盾 i5.6.2 非欧几何学的先兆从反面证明第五公设，意大利耶稣会教 士、数学家萨凯里（16671733）于 1733年第一次发表了其极具特色的成 果。 插入图5.30 离开了求证第五公设的目标，朝向创造 非欧几何的目标靠拢但是，他们没有 认识到欧几里得几何并不是在经验可 证实的范围内描述物质空间性质的唯 一几何5.6.3 奇异的罗巴切夫斯基几何学罗巴切夫斯基非欧几何的平行公理：设a是任一直线，A是a外任一定点 。在a与A所决定的平面上，过点A而与a不相交的直线，至少有两条 罗巴切夫斯基非欧几何命题三角形内角和都是小于的，而且其和量因三角形而异，并非 一个常量。同一直线的垂线及斜线，并不总是相交的。不存在相似而不全等的两个三角形。如果两个三角形的各内角对应相等，则它们必定是全等的。存在着没有外接圆的三角形。三角形三边的中垂线并非必定交于一点。在平面上一条已知直线a的同一侧，与已知线a有给定距离的点的 轨迹是一曲线，它上面的任意三点都不在一条直线上。在任一角内，至少存在这样一点，通过它不能做出一条同时与两 边相交的直线。圆内接正六边形的边大于此圆半径5.7 几何学的统一性与现实性5.7.1黎曼几何德国数学家年提出另一种非欧几何学黎 曼几何（黎曼。1854年）直接起源于微分几何的研 究黎曼几何的平行公理，是假设过直线外一 点不存在与已知直线平行的直线。在黎曼几何中 ，三角形的内角和大于两直角，圆周率小于5.7.2非欧几何学的“现实性”直到19世纪初，所有的数学家都认为欧氏几何是物 质空间和此空间内图形性质的正确描述。并且“空间 ”也专指当时人们所唯一了解的欧几里得空间 罗巴切夫几何自诞生之日起，其命题的合理性就不断 引起人们的怀疑。非欧几何早期的发现者们为了验证它的合 理性，曾作过一些实际的测定。历史的事实却残酷的告诉我 们，罗氏几何迟至今日也没能在物理空间找到应用，只有在 逻辑的范畴内，利用公理化的思想与方法找到它存在的“合 理性”黎曼几何在相对论中的现实应用。 爱因斯坦说：“我特别强调刚才所讲的这种几何学的 观点，因为要是没有它，我就不能建立相对论。”5.7.3 爱尔兰根纲领19世纪初，运用欧几里得综合方法，创造出与 解析几何相媲美的射影几何学 爱尔兰根纲领（克莱因，1872年）：所谓几何 学，就是研究几何图形对于某类变换群保 持不变的性质的学问，或者说任何一种几 何只是研究与特定的变换群有关的不变量 。 克莱因以射影几何为基础、对几何学做了如下 的分类： 射影几何 仿射几何 单重椭圆几何 双重 椭圆几何 双曲几何 （黎曼几何） （罗 巴切夫斯基几何） 抛物几何 其他仿射几 何 （欧几里得几何）利用不变性研究图形的性质，为初等几何 的研究提供了新的方法。例如，由于在仿射交换下椭圆可以变成 圆，相应地椭圆中心变为圆心，椭圆的切线变 为圆的切线。我们不妨将原命题应用仿射变换 转化为相应的圆的命题：设ABC为圆内接三 角形，以其顶点作切线构成了切线三角形 A1B1C1。如果A1B1AB. B1C1BC。那么 A1C1AC。一旦我们证明了这个有关圆的命题 ，再利用仿射变换下“平行”为不变性，便可 知原命题成立。5.8 几何基础与公理化方法5.8.1 公理化方法 非欧几何、非交换代数（如四元数）的出现，使数学 家注意到古希腊把公理当作自明的真理的局限性。 分析的算术化研究不断深入，逐渐形成了科学的公 理化方法。 公理集合的性质相容性，即由公理导出的定理，没有哪两个是相 互矛盾的；完备性，即理论系统中的定理都可以从公理导出独立性，即由公理导出的定理中中没有一个是另 一个的逻辑 结果。在任何一个公理系中，不加 定义的概念 例如几何学中的“点”和“线”，它们在物理领域中 的“意义”或关系，在数学上是非本质的。它们被当 作纯粹抽象的东西，它们在演绎系统中的性质，完全 用公理的形式加以界定5.8.2 欧氏几何公理体系的严密化希尔伯特几何公理体系被划分为五组，用五组 公理联结三种对象及其间的三种关系（六 个原始概念）。如果在这个公理体系中去掉第三种几何基本对象（“平面”）以及与它 有关的各条公理，余下来的公理和五个原始概念就可以构成一个“平面几何的公理系 统”。 希尔伯特公理集可以排除欧氏几何证明中的直 观成分。 例如，用公理IV给出下述命题的证明： 命题：联接圆内的一点A与圆外一点B的直线段与该圆周 有一个公共点。 图5.33 圆内外两点连线必与圆相交 的证明 事实上，令O为给定圆的圆心，r为半径， C为从O到AB线段的垂线。线段AB上的点 可被分为两类：对于一些点P，OPr， 和对于一些点Q，OQr。可证明：对每 一种情况，CPCQ。根据戴德金的公设 ，在AB上存在一个点R，使得：所有位 于它之前的点属于第一类，并且所有位 于它之后的点属于第二类。于是OR不小于r，否则我们能 在R和B之间选AB上的点S，使得RSrOR，但是，因为 OSOR+RS，这意味着谬论：OSr。类似地，能证明： OR不大于r。因此，我们必定有OR = r，于是定理得证 。5.8.3