E|一、问题的引入问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达?设函数了(z)在区域D内解析,-z,|=r为D内以z,为中心的任一圆周,它与丢的皂部全名吊田证历x,如图:-一-O民要,由柯西积分公式,有【生(5)口水(苔d签，其中人取正方向.Qfxl6|区因为积分变量取在圆周K上,点z在友的内部,所以口心园万一20【1火二人J召_z召_zl_z_z一|4一一一-O,】+(z_z)十(z一z)z十_彗一z0一2门心1|心五(z-zo)(4_z0)丨0由高阶导数公式,上式又可写成A1(Tt=一工261萝埕了)其中&几27f】若lim叉v(z)=0,W心口可知在K内了(a)=二一T川十Rv(z)怡z。)d芗即了(z)在又内可以用帛级数来表示,令z_z。=恤_z。一一z04是与积分变量“|百历关的量|,日(0)#j1,l一了(z)在D(KD)内解析,则在K上连续,因此了(6)在K上也连续,下(6)在K上有界,一一一即存在一个正常数M,在KE|f(E)|.|&v(z)|z堇熹娉督酚恤一唰十蘑鲈叫仕叮伽5刹T的片吴用毒善N萼警2Tr=翟鲨二limg“=0一一limRv(z)=0在K内成立,W一口W心口目门t从而在K内万(z)-一一(z_日泰勒级数十()在z,的泰勒展开式,圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内成立.民不,如果,到D的边界上各点的最短距离为4,那末f(z)在r,的泰勒展开式在s-z4内成立.但(z)在=o的泰勒级数的收敛半径R至少等于4,因为凡满日z的怀能使U)(z。)即口么。由上讨论得重要定理一一泰勒展开定理H-不加-四二、泰勒定理定理设(z)在区域D内解析,为D内的一点,4为z,到D的边界上各点的最短距离,那未k-才0们川山Q园印&泰勒展开式泰勒级数