第4章 结构地震反应分析与抗震验算本章主要介绍建筑结构的地震反应分析和抗 震验算方法。主要内容包括：单自由度弹性体系 地震反应分析的基本理论与方法、单自由度弹性 体系的水平地震作用计算及其反应谱理论、多自 由度弹性体系地震反应分析的振型分解法、多自 由度体系的水平地震作用计算、结构的扭转效应 计算、地基与结构相互作用的基本原理和计算方 法、竖向地震作用的基本概念和计算、结构非弹 性地震反应分析以及建筑结构的抗震验算等，这 些都是结构抗震设计的基本原理，也是本课程的 学习重点。3.1 概述3.1.1地震反应及地震作用地震反应：地震引起的结构振动称为结构的 地震反应，它包括地震在结构中引起的速度、 加速度、位移和内力等。结构的地震反应是一 种动力反应，其大小不仅与地面运动有关，还 与结构自身的动力特性（自振周期、振型和阻 尼等）有关，因此结构地震反应分析属于结构 动力学的范畴，与静力分析相比要复杂得多。 3.1.2结构抗震设计理论的发展结构抗震分析理论作为一门学科来研究还 不到一百年。根据计算理论的不同，地震反应 分析理论可划分为：1）静力理论2）反应谱理论3）动态分析 三个阶段。静力理论：又称为烈度法，起源于日本，是国际上最 早形成的抗震分析理论。静力法假设建筑物为 绝对刚体，地震时，建筑物和地面一起运动而 无相对于地面的位移；建筑物各部分的加速度 与地面加速度大小相同，并取其最大值用于结 构抗震设计。该方法忽略了结构本身动力特性 (自振周期、阻尼等)的影响，对多、高层或高 耸建筑会产生较大的误差，只适用于低矮的、 刚度较大的建筑。反应谱理论是建立在强震观测基础上的。1940年美国的 M.A.Biot通过对强地震动记录的研究，首次提出反应谱 这一概念。20世纪50年代初，美国的G.W.Housner及其 合作者发展了这一理论。反应谱理论至今仍然是我国和 世界上许多国家结构抗震设计规范中地震作用计算的理 论基础。地震作用的大小不仅与地震强度有关，而且还 与结构的动力特性有关。随着震害经验的积累和研究的 深入，人们逐步认识到建筑场地以及震中距等因素对反 应谱形状的影响。一般的抗震设计规范在综合考虑了这 些因素后，都规定了不同的反应谱形状。同时利用振型 分解原理，可以有效地将上述概念用于多质点体系的抗 震计算，这就是抗震规范中给出的振型分解反应谱法。动态分析:随着计算机技术的发展，工程地震反 应的数值分析成为可能。由于地震波为复 杂的随机振动，对于多自由度体系振动不 可能直接得出解析解，为此，1959年 Newmark提出了逐步积分法。该方法又称为 时程分析法或直接动力法，可以通过直接 动力分析得到结构响应随时间的变化关系 。目前，动态分析可分为频域分析法和时 域分析法。前者适用于弹性结构体系，后 者既适用于弹性结构体系，也适用于非弹 性机构体系。 3.1.3结构动力计算简图及体系自由度结构动力计算简图的确定，是进行结构地震反 应分析的第一步。结构动力计算的关键是结构 惯性的模拟，由于结构的惯性是结构质量引起 的，因此结构动力计算简图的核心内容是对结 构质量分布的简化。结构质量分布的简化方法有两种，一种是简化 成连续的分布质量，另一种是简化成集中质量 。如采用连续化方法来考虑结构的质量，结构 的运动方程将为偏微分方程的形式，而一般情 况下偏微分方程的求解和实际应用不方便。因 此，工程上常采用集中化方法来简化结构的质 量. 说明：采用集中质量方法确定结构动力计算简图 时，需先定出结构质量集中位置。可取结构各 区域主要质量的质心为质量集中位置，将该区 域主要质量集中在该点上，忽略其他次要质量 或将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去 。 确定结构各质点运动的独立参量数为结构运动 的体系自由度。空间中的一个自由质点可有三 个独立位移，因此一个自由质点在空间有三个 自由度。结构体系上的质点，由于受到结构构件的 约束，其自由度数可能小于自由质点的自由度 数。如图前所示的结构体系，当考虑结构的竖 向约束作用而忽略质点竖向位移时，则各质点 在竖直平面内只有一个自由度，在空间有两个 自由度。 3.2单自由度弹性体系的地震反应分析与设计反应谱 3.2.1单自由度弹性体系的地震反应分析 1.运动方程计算单自由度弹性体系的地震反应时，首 先要建立体系在地震作用下的运动方程。一般 假定地基不产生转动，而把地基的运动分解为 一个竖向和两个水平方向的分量，然后分别计 算这些分量对结构的影响。3.2单自由度弹性体系的地震反应分析与设计反应谱图2表示地震时，单质点弹性体系在地面水平运动分量作 用下的运动状态。其中 表示地面的水平位移，它是时 间 的函数，其变化规律可由地震时地面运动的实测记 录中求得； 表示质点 对于地面的相对弹性位移或相对 位移反应，它也是时间 的函数，是待求的未知量；表示质点的总位移； 是质点的绝对加速度。 3.2单自由度弹性体系的地震反应分析与设计反应谱从图2中可以看出，若取质点为隔离体，则由结 构动力学原理可知，作用在质点上的力有3种， 即惯性力 、弹性恢复力 和阻尼力 。惯性力 为质点的质量 与绝对加速度的 乘积，即：(3-1)式中的负号表示惯性力 与绝对加速度的方向相反。3.2单自由度弹性体系的地震反应分析与设计反应谱弹性恢复力是使质点从振动位置恢复到平衡位 置的一种力，它的大小与质点离开平衡位置的 位移成正比，即：(3-2)式中： 支持质点弹性直杆的刚度，即质 点产生单位位移时在质点上所需施加的水平力 ；负号表示 的指向总是与质点位移的方向相 反。3.2单自由度弹性体系的地震反应分析与设计反应谱阻尼力 是一种使结构振动逐渐衰减的力，它由 材料的内摩擦、构件连接处的摩擦、地基土的内摩擦 以及周围介质对振动的阻力等各种因素引起，它将使 得结构的振动能量受到损耗而导致其振幅逐渐衰减。 阻尼力有几种不同的理论，目前应用最广泛的是粘滞 阻尼理论，它假定阻尼力的大小与质点的速度成正比 ，即：(3-3) 式中： 阻尼系数；负号表示阻尼力与速度 的方向相反。3.2单自由度弹性体系的地震反应分析与设计反应谱根据达朗贝尔原理，物体在运动中的任一瞬间， 作用在物体上的主动力、约束力和惯性力三者相互平 衡，即：(3-4)或 (3-5)上式即为单质点弹性体系在水平地震作用下的运 动微分方程，相当于动力学中单质点弹性体系在动荷 载作用下 的强迫振动。由此可知，地震时地 面运动加速度 对单自由度弹性体系引起的动力效 应，与在质点上作用一动力荷载 时所产生的 动力效应相同。3.2单自由度弹性体系的地震反应分析与设计反应谱将式(3-5)两边同除以 ，可简化得：(3-6)式中： 结构振动圆频率， ；结构的阻尼比， 式(3-6)是一个常系数的二阶非齐次线性微分方程 ，其通解由两部分组成，一个是齐次解，另一个 为特解。前者描述体系的自由振动，后者描述体 系在地震作用下的强迫振动。3.2单自由度弹性体系的地震反应分析与设计反应谱2.运动方程的解（1）方程的齐次解自由振动运动方程式(3-6)的齐次解可由下列方程求得：(3-7)式(3-7)即为单自由度弹性体系的自由振动运动方程。对于一般结构，由于其阻尼较小( )，上式的解可 写为：(3-8)式中： 、 任意常数，由初始条件确定；有阻尼体系的自由振动圆频率。(3-9)3.2单自由度弹性体系的地震反应分析与设计反应谱时体系的初始位移和初始速度分别为和 ，代入式(3-8)后可得：(3-10)将 、 代入式(3-8)后可得：(3-11)当 时，式(3-11)即为无阻尼单自由度体 系的自由振动方程。3.2单自由度弹性体系的地震反应分析与设计反应谱图3中的虚线是根据式(3-11)绘出的有阻尼单自由度体 系自由振动时的位移时程曲线。无阻尼单自由度体系自由 振动时的位移时程曲线如图中的实线所示。由图3中可知，无阻尼体系自由振动时的振幅始终不变 ，而有阻尼体系自由振动的曲线则是一条逐渐衰减的波动 曲线，即振幅随时间的增加而减小，并且体系的阻尼比越 大，其振幅的衰减越快。 3.2单自由度弹性体系的地震反应分析与设计反应谱（2）方程的特解强迫振动如图4(a)所示，一荷载作用于单质点体系，则把荷载与作用时间的乘积，即 称为冲量。当作用时间为瞬时 时，则称 为瞬时冲量。根据动量定律，冲量等于动量的增量，故有： 3.2单自由度弹性体系的地震反应分析与设计反应谱(3-12)若体系原先处于静止状态，则初速度 ， 故体系在瞬时冲量作用下获得的速度为：(3-13)由于体系原先处于静止状态，故体系的初位移 也等于零。这样就可以认为在瞬时荷载作用后的瞬 间，体系的位移仍为零。也就是说，原来静止的体 系在瞬时冲量的影响下将以初速度 作自由振 动。根据自由振动的方程式(3-11)，并令其中的 和 ，则可得：3.2单自由度弹性体系的地震反应分析与设计反应谱(3-14) 其位移时程曲线如图4(b)所示。运动方程(3-6)的特解就是质点由外荷载引起的强迫振动，它可用上述瞬时冲量的概念来推导。考察该方程式，其等号右边项 可视为作用于单位质量上的动力荷载。设该荷载随时间的变化关系如图5(a)所示:并将其化成无数多个连续作用的瞬时荷载 ，则在 时，其瞬时荷载为 ，瞬时冲量 为 。在这一瞬时冲量的作用下，质点 的自由振动方程可由式(3-14)求得，只需将式 中的 改为 ，并取 ，将 改 为 。这是因为上述瞬时冲量不在时刻作用 ，而是作用在时刻。于是有：(3-15)(3-14) 体系在整个受荷过程中所产生的总位移反应 即可由所有瞬时冲量引起的微分位移叠加得到。 对一般工程结构， ，约在0.010.10之间， 此时 ，故对上述公式积分后可近似地写成 ：(3-16) 式(3-16)为杜哈默积分，它与式(3-11)之和即为 微分方程(3-6)的通解: (3-17) 3.2单自由度弹性体系的地震反应分析与设计反应谱3.2.2单自由度弹性体系水平地震作用及反应谱法 1.单自由度体系的水平地震作用根据式(3-4)，可求得作用于单自由度弹性体系 质点上的地震作用，即惯性力 为：(3-18)工程中，通常阻尼力 远小于弹性恢复力 ，为简化计算，求地震作用时可略去阻尼力，因此 ，惯性力可表示为：(3-19)3.2单自由度弹性体系的地震反应分析与设计反应谱将式(3-16)代入式(3-19)，得：(3-20) 上式为结构地震作用随时间变化的表达式，可通过数值积分计算 在各个时刻的值。在结构抗震设计时，只需要求出地震作用的最 大值，用 表示，即：(3-21)式中：(3-22)称作质点运动加速度的最大值。由上式可知，质点的绝对最大加速度 取决于地震时的地面运 动加速度 、结构的自振频率或自振周期以及结构的阻尼比。max maxmax2.地震反应谱将式(3-16)对时间求导数，可以得到单自由 度弹性体系在水平地震作用下相对于地面的速度 反应为：(3-23) 在上式中，取 ，并用 取代(这样并不影响最大值，只是相位相差),且由于阻 尼比值较小，可忽略上式中的 项。这样，当用 、 分别表示单自由度弹性体系的最大位移、最 大速度反应时，可以得到以下近似关系：(3-24)式中： 单自由度弹性体系的最大速度反应；(3-25) 单自由度弹性体系的最大位移反应；(3-