利用动态圆求解带电粒子在有界 磁场中运动的极值问题 1、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公 式 2、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公 式 3、求带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时间的 公式 Av1（v2（v3一束电性相同的粒子，以 相同、 不同的初速 度从边界某点进入匀强磁场时，所有粒子运动轨迹的圆心 都在与 的直线上。速度增大，轨迹 半径增大。所有粒子的轨迹均通过 点，且组成一组 动态的 圆。（填写圆的位置关系）我们将这一组圆叫做“缩放圆”v2v1方向大小射入速度垂直的同一 入射 内切AvxyO(O1rr由 得AvxyO(若磁感应强度为B的匀强磁场仅存在于第一象限（如图 2），一带负电的粒子（质量为m,带电量为q）从距原点O 为d的A点射入。若粒子射入的方向不变，要使粒子不能 从x轴射出，则粒子的速度不能超过多少？4、带电粒子在圆形磁场中的运 动结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出例2：在圆形区域的匀强磁场的磁感应强度为B，一 群速率不同的质子自A点沿半径方向射入磁场区域 ，如图所示，已知该质子束中在磁场中发生偏转的 最大角度为1060，圆形磁场的区域的半径为R，质子 的质量为m，电量为e，不计重力，则该质子束的速 率范围是多大？O1O2O3O4“让圆动起来”结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆 心角都越小，运动时间越短。在真空中半径为r=3cm的圆形区域内有一磁感应强度 为B=0.2T的匀强磁场，方向如图所示。一带正电的粒子以 v=1.2106m/s的初速度从磁场边界直径ab的a端射入磁场 。已知该粒子的比荷为q/m=108C/kg不计粒子重力。 (1)求 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； (2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时v0与ab的夹角 及粒子的最大偏转角ababOv结论：运动速度v相同,方向不同， 弧长越长对应时间越长。(直径对应 的弧最长)一束带电的粒子以初速度v进入匀强磁场，若初速度 相同， 不同，则所有粒子运动的轨道半径 同，但不 同粒子的圆心位置不同。其共同规律是：所有粒子的圆心都在 的圆上。我们将这样的一组圆称为“转动圆”。 ab大小 方向相以射入点为圆心、半径等于入射 粒子轨迹半径甲乙如图甲，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场， 磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多 质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面 内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计 粒子间相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经 过的区域，其中R=mv/qB。图乙中哪个是正确的？ 如图如图, ,真空室内存在匀强磁场真空室内存在匀强磁场, ,磁磁 场方向垂直于纸面向里场方向垂直于纸面向里, ,磁感应磁感应 强度的大强度的大B=0.60T,B=0.60T,磁场内有一磁场内有一 块平面感光板块平面感光板abab, ,板面与磁场方板面与磁场方 向平行向平行, ,在距在距abab的距离的距离L=16cmL=16cm 处处, ,有一个点状的放射源有一个点状的放射源S,S,它向它向 各个方向发射各个方向发射 粒子粒子,粒子的速粒子的速 度都是度都是v=4.8x10v=4.8x106 6m/s m/s, ,已知已知 粒粒 子的电荷与质量之比子的电荷与质量之比 q/mq/m=5.0x10=5.0x107 7C/kgC/kg现只考虑在图现只考虑在图 纸平面中运动的纸平面中运动的 粒子粒子, ,求求abab上被上被 粒子打中的区域的长度粒子打中的区域的长度. .sabL.解解: :粒子带正电粒子带正电, ,故在磁场中沿逆故在磁场中沿逆 时针方向做匀速圆周运动时针方向做匀速圆周运动, ,用用R R表表 示轨道半径示轨道半径, ,有有因朝不同方向发射的因朝不同方向发射的 粒子的圆轨粒子的圆轨 迹都过迹都过S, S,由此可知由此可知, ,某一圆轨迹在某一圆轨迹在 图中图中abab上侧与上侧与abab相切相切, ,则此切点则此切点P P1 1就是该粒子能打中的上侧最远点就是该粒子能打中的上侧最远点. .s sa ab bP1再考虑再考虑abab的下侧的下侧. .任何任何 粒子在运动中粒子在运动中 离离S S的距离不可能超过的距离不可能超过2R,2R,以以2R2R为半为半 径、径、S S为圆心作圆为圆心作圆, ,交交abab于于abab下侧的下侧的P P2 2点点, ,此即下侧能打到的最远点此即下侧能打到的最远点. . P2NL L五、正方形磁场1.如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂 直纸面向里。一个氢核从ad边的中点m沿着既垂直于ad边 又垂直于磁场的方向，以一定速度射入磁场，正好从ab边 中点n射出磁场。现将磁场的磁感应强度变为原来的2倍， 其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是 A在b、n之间某点 B.在n、a之间某点 C在a点 D.在a、m之间某点abcdmn BvcA带电带电 粒子在磁场场中飞飞行的时间时间 不可能相同 B从M点射入的带电带电 粒子可能先飞飞出磁场场 C从N点射入的带电带电 粒子可能先飞飞出磁场场 D从N点射入的带电带电 粒子可能比M点射入的 带电带电 粒子先飞飞出磁场场 解析： 画轨迹草图如右图所示，容易得出 粒子在圆形磁场中的轨迹长度(或轨迹对应的 圆心角)不会大于在正方形磁场中的，故B正 确答案： B一、学有所得 动态圆的两种模型: 1、缩放圆 速度 不变，速度 发生变化，轨迹半径 同，圆 心始终在 直线上。所有圆内切。 2、转动圆 速度 不变，速度 发生变化，圆的大小 变，绕 射入点转动。 方向方向大小大小 与速度方向垂直的同一不不结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出带电粒子在圆形磁场中运动的四个结论结论3：运动半径相同(v相同)时，弧长越长对 应时间越长。结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆 心角都越小，运动时间越短。结论4：磁场圆的半径与轨迹圆的半径相同时,“磁会聚”与“磁扩散”磁聚焦概括：磁聚焦概括：平行会聚于一点平行会聚于一点一点发散成平行一点发散成平行RR Rrr区域半径区域半径 R R 与运动半径与运动半径 r r 相等相等迁移与逆向、对称的物理思想！例、例、在在xoyxoy平面内有很多质量为平面内有很多质量为mm，电量为，电量为e e的电子，从坐标的电子，从坐标 原点原点O O不断以相同速率不断以相同速率V VOO沿不同方向射入第一象限，如沿不同方向射入第一象限，如 图所示现加一垂直于图所示现加一垂直于xOyxOy平面向里、磁感强度为平面向里、磁感强度为B B的匀的匀 强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x x轴且轴且 沿沿x x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互作用）多大？（不考虑电子间的相互作用）x xy yO Ov v0 0O O1 1O O2 2 O O3 3 O O4 4O O5 5O On n所有电电子的轨轨迹圆圆半径相等，且均 过过O点。这这些轨轨迹圆圆的圆圆心都在以O为为 圆圆心，半径为为r的且位于第象限的四 分之一圆圆周上，如图图所示。电子由O点射入第象限做匀速 圆周运动解解1:1:x xy yO Ov v0 0O O1 1O O2 2 O O3 3 O O4 4O O5 5O On n即所有出射点均在以坐标标(0，r)为圆为圆 心的圆圆弧abO上，显显然 ，磁场场分布的最小面积积应是实线1和圆弧abO所围的面积，由几 何关系得由图可知，a、b、c、d 等点就是各电 子离开磁场的出射点，均应满足方程 x2 + (ry)2=r2。解解2:2:设P(x，y)为磁场下边界上的一 点，经过该点的电子初速度与x轴 夹角为 ，则由图可知： x = rsin， y = rrcos ，得: x2 + (yr)2 = r2。所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的圆弧应是磁场区域的下边界。磁场上边界如图线1所示。x xy yO Ov v0 01 1 P P ( (x,yx,y) )O Or rr r两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面积，即为磁场区域面积：