第5章 数值积分5.1 牛顿-柯特斯求积公式5.2 复合求积公式及其误差5.3 龙贝格求积法引言引言 本章的问题： 计算定积分abf(x)dx的近似值。 必要性: 如果f(x)的原函数是F(x)，则等. 实际问题中常有些被积函数没有表达式,而只是通过观测得到一些离散的数据点,比如求一条河道的某个截面积,这样的定积分只能用近似计算方法. （牛顿-莱布尼兹公式）但有些定积分的被积函数的原函数不能用初等函数明显表示, 牛顿-莱布尼兹公式不能用,如 5.1 牛顿-柯特斯求积公式5.1.1 牛顿-柯特斯求积公式的构造5.1.2 求积公式的代数精度、梯 形公式和抛物线公式的误差估计5.1.1 牛顿-柯特斯求积公式的构造建立数值积分公式的基本思想： 选取一个简单的函数(x)近似代替f(x)，得牛顿-柯特斯的思想：选取(x) 为插值多项式Pn(x)，推 导出实用的数值积分公式。 再推导出简便实用的计算公式，称为数值积分公式。在a, b作等距的插值基点 a=x0x1xn=b ，令 由 积分作代换x= a+sh, 则 推导具体计算公式dx=hds, 当x=a时s=0， 当x=b时x=n，xxj=(sj )h,=i(i-1)1(-1)(-2)(-(n-i) hn= (-1)n-I i! (n-i)! hn由略去余项得牛顿柯特斯求积公式 称为柯特斯求积系数 n 11/21/2 21/64/61/6 31/83/83/81/8 47/9016/452/1516/457/90 519/28825/9625/14425/14425/9619/288 641/8409/359/28034/1059/2809/3541/840 7751/172803577/172801323/172802989/172802989/172801323/172803577/17280751/17280 8989/ 283505888/ 28350-928/ 2835010496/ 28350-4540/ 2835010496/ 28350-928/ 283505888/ 28350989/ 28350柯特斯求积系数表： 例如：n=2时，有n=3时，有柯特斯系数的性质： (2) 系数有对称性。 (3) 当n8时开始出现负值的柯特斯系数。 (1)理由：取f(x)1，则 f(n+1)(x)0, Rn(f)0，于是梯形公式. 当n=1时, 有 牛顿柯特斯求积公式 此公式来源于舍去余项的结果， 相当于用直线P1(x)代替f(x)计算积分。抛物线公式 牛顿柯特斯求积公式当n=2时有 此公式来源于舍去余项的结果， 相当于用抛物线P2(x)代替f(x)计算积分。例 用n=1,2,3,4的牛顿柯特斯求积公式计算下面定 积分的近似值: 解 当n=1, 当n=2, 当n=4, 当n=3, （梯形公式）（抛物线公式）0.83333.5 0.666667 10.5 0.625 0.75 0.875 15.1.2 求积公式的代数精度、梯形公式和抛物线公式 的误差估计的求积公式，如当 f(x)是 1,x,x2, xm 时成为准确的等式，但 当f(x)= xm+1时，求积公式不能准确成立，则称求积公式的代 数精确度（简称代数精度）为m。 定义 对一个形如（Ai与f(x)无关）牛顿柯特斯求积公式具有上面的形式，且余项为 定理 5.1 牛顿柯特斯求积公式的代数精确度至少 为n。而且当n是偶数时，公式的代数精确度可达到n+1。 证明 当 f(x)是 1,x,x2, xm 时 ， 求积公式成为准确的等式。因此牛顿柯特斯求积公式 的代数精确度至少为n。 （其余证明略）定理 5.2 （梯形公式的误差）设f(x)在a,b上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差可表达为 证 由于(x-a)(x-b)在a, b 中不变号 ， 在a, b 中连续 ，根据定积分的第二中值定理，存在一点 a,b,使定理 5.3（抛物线公式的误差）设f(x)在a,b上具有连续的四阶导数，则抛物线求积公式的误差可表达为 例 试证梯形公式的代数精确度为1。 证明 梯形公式是 误差 当f(x)=x0,x 时，R1 (f ) = 0, 梯形公式成为准确等式. 当f(x)=x2 时，根据梯形公式，左= 右=左因此，公式的代数精确度为1。例 试证抛物线公式的代数精确度为3。 证明 抛物线公式是 误差 当f(x)=x0,x,x2,x3 时，R2 ( f ) = 0, 抛物线公式成为准确等式. 当f(x)=x4 时，因此，公式的代数精确度为3。0，抛物线公式不能准确成立。5.2.1 复合梯形公式及其误差5.2.2 复合抛物线公式及其误差5.2 复合求积公式及其误差5.2.3 变步长的梯形公式公式的构造思想：将积分区间等分成n个小区间，在每个小区间 上分别用梯形求积公式再相加起来，得到实用的计算公式。 5.2.1 复合梯形公式及其误差设f(x) 在a,b上有连续的二阶导数，n是正整数. a,b等分成n个小区间在 上运用梯形公式， 各式相加后得 由于f(x)连续，且有 对f(x)应用连续函数的介值定理知存在a, b ,使 因此 略去余项后便得复合梯形公式 余项为 例 用n=6的复合梯形公式计算积分 的近似值。 解 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.21.827655 练习 用n=6的复合梯形公式计算积分 解 5.2.2 复合抛物线公式及其误差n取为偶数。 在区间 分别应用抛物线求积公式（设f(x) 在a,b上有连续的4 阶导数 ）各式相加，舍去余项可得复合抛物线求积公式 当n=2时即为上节的抛物线公式。 可推得Sn 的余项为 利用连续函数的介值定理 有n为偶数例 用n=6的复合抛物线公式计算积分 的近似值。 解 使绝对误差小于10 6。 例 用复合抛物线公式计算积分 的近似值, 解 解不等式 求得 n=6。用n=6的复合抛物线公式计算积分，见上例。用复合抛物线求积公式计算定积分的一般步骤： （1）由被积函数和积分区间，计算 ，并作出估计: （2）由不等式 解出偶数n的最小值。 （3）计算函数值 计算出Sn。 5.2.3 变步长的梯形公式分别按复合梯形公式计算的结果记为T(0) , T(1) ,T(2) ,T(m) ,.让n 依次取1,21,22,2m,对应的步长序列为 ， ，. 上式中，当k取偶数时，令当k取奇数时，令注意即变步长的梯形公式为对于指定的误差限，当|T(m)- T(m-1) | (为绝对误差限）时结束计算。理由如下：或 |T(m)- T(m-1) |T(m)| (为相对误差限）所以|T(m) T(m-1 )|可以用来估计T(m)的误差。理由 T(m)的余项 为 记 设f(x)连续且变化不大，当m时显然T(m)J。当m充分大时， f(m-1 ) f(m ) ,可得近似式：注意：由上述近似式还可推得：此式可用于构造加速收敛的计算公式。5.3 龙贝格（Romberg)求积法可以预料它比T(m)的准确性更高。事实上，分别取步长(b-a)/n, (b-a)/(2n)(n是正整数), 用复合梯形公式计算Tn, T2n,则有可见,由复合梯形公式所作出的线性组合 正好是代数精确度达到3的复合抛物线公式。 在变步长的梯形公式中，得到近似式龙贝格求积法的基本思想 ：运用一个代数精确度较低的求积公式（例如梯形公式），相继以步长和求得定积分的两个近似结果，然后再 作它们适当的线性组合，则可以得到一个代数精确度更高的公式。 设依次用步长为 的复合梯形公式的计算结果记为 这是第1个积分序列，其计算公式由上节可知为 由第1个积分序列（复合梯形公式积分序列），根据关系 可得出较为准确的第二个积分序列（即复合抛物线公式积 分序列）龙贝格求积法：用类似的推理可证由关系 可得出更为准确的第三个积分序列 ， 可验证其中T2,0的代数精确度 至少是5. 一般说来，由已得序列 推导下一序列的公式 为龙贝格积分法可以按下面的“T数表”的顺序进行：T0,0 (1) T0,1 (2) T1,0 (3)T0,2 (4) T1,1 (5) T2,0 (6)T0,3 (7) T1,2 (8) T2,1 (9) T3,0 (10) 当对角线上最后两个相邻项满足 时,可停止计算并取 作为所求积分的近似值 .例 用龙贝格积分法计算积分 ,使精确度达到10-4 。 解最后得到 龙贝格积分法：