课件制作：易学军 胡合兴 二、 作业讲析三、 典型例题讲解四、 练习题一、 内容总结1、隐函数的导数：一、内容总结 一个方程的情形定理1 设函数 在点 的邻域 内有连续偏导数，且 ，则方程在点 的某邻域内唯一确定一个有连续导数的（单值）函数 ，它满足 ，且：定理2 设三元函数 在 的邻域内有连续偏导数， ，则方程 在 的某邻域内唯一确定一个有连续偏导的（单值）函数 ，满足 ，且： 方程组的情形 定理3 设 ，若（1） ，（2） ，（3）雅克比行列式在 的值不为0，即则方程组（3）在 的某邻域内唯一确定两个二元函数 ，满足 且 设多元函数 ，则在内，任一 阶混合偏导数的值与求导的次序无关.2、高阶偏导数： 若 的两个混合偏导数 和 在 的某邻域 内存在且在 连续，则 3、多元函数的泰勒公式： 设 ， ， 则其中 称为拉格朗日型余项.4、方向导数与梯度： 若 在点 处可微，则 在 沿任一方向 的方向导数存在,且：其中 为单位向量，最后两式为数量积. 记grad 称为 在点 处的梯度.二、作业讲析 略三、典型例题讲解例 1 设方程 y + x exy = 0 确定了函数 y = y(x)，解 方程两边求微分，得 d(y + x exy) = d0，即dy + dx - dexy = 0， dy + dx exy(xdy + ydx ) = 0. 当 1 - xexy 0 时，解得即解 用全微分形式不变性，得故求得：例 2 设方程组 ，确定 ， 求解所以例 3 求函数 的所有二阶偏导数 . 因为例 4 设 ，试求 .解解 因为所以例 5 设 ， 求 .例 6 将函数 展成麦克劳林公式.解 函数 在 存在任意阶连续偏导数，且和 是任意非负整数，则有：故所求方向导数为：例 7 求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的方向导数.解 这里方向 即为故 轴到方向 的转角为解 由梯度计算公式得：故在 处的梯度为零.例 8 求函数 在点 处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？4、 .四、练习题1、设 ，求2、 设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程3、设 ，求5、设 ，（ 具有二阶连续偏导数），求：6、求函数 在点 沿与 轴方向夹角为 的方向射线 的方向导数，并问在怎样的方向上此方向导数有：（1）最大值 （2）最小值 （3）等于零？7、求 在点 处沿点的向径 的方向导数，问 具有什么关系时此方向导数等于梯度的模？答案：1. 2. 3. . 4.略。5.略。6. 方向导数为 7. 方向导数为 ；