无穷等比数列求和教学设计（一）设计情境提出问题问题 1：如果不停地往一只空箱子内放东西，箱子会满吗？为什么?这问题表面上看是一个游戏，事实上，它隐含着无穷数列各项和知识，有一定的趣味和魅力，能引起学生的思考，不同层次的学生都有发言权，也不乏味，有能力发展点、个性和创新精神培养点，学生从实际背景出发，通过动脑思考，动手操作，动口说明，能经历从抽象表示到符号变换和检验应用全过程，能培养学生的数学建模能力。（二） 自主探究感知问题我提示学生用数学眼光去看上述问题，即将上述问题转化为数学模型,然后让学生展开讨论。（三） 合作交流形成共识（1）问题 1 的讨论结果：S1：箱子即使很大也会满，因为，设第一次放入的量为 a1, 第二次放入的量为 a2,设第 n 次放入的量为 an，,则 a1a2a3an可能很大，总能放满箱子。S2：箱子即使很小也不会满，因为，设第一次放入的量为 a1, 第二次放入的量为 a2,第 n 次放入的量为 an ，,则 a1a2a3an可能也很小。（2）引导学生对问题进行探究，构建数学模型问题 2：你能尽可能多地举出箱子不会满的例子吗？S3：把一支粉笔的一半放入空箱子中去，剩下粉笔的一半再放入空箱子中去，如此下去，放入空箱子中的充其量也只有一支粉笔，不会满，其数学模型是：a aa=a(a 是粉笔的长)S4：把一杯水的倒入空容器中去，剩下水的再倒入空容器中去，如此下去，倒入容器中的只有一杯水，也不会满，其数学模型是：bbb=b(b 是一杯水)问题 3：你能否将 S3 与 S4 这类问题一般化？若设第一次放入空箱子中去的量为 a1，第二次放入空箱子中的量为 a2，第 n 次放入空箱子中去的量为an，数列an有何特点？同学们得出结论：数列an是等比数列，也是递减数列，且项数无穷的。接着再让学生自主研究无穷递缩等比数列的定义，并判定数列an是否为无穷递缩等比数列？再进一步思考无穷递缩等比数列是否一定是递减数列？总结无穷递缩等比数列的几个特征，加深对概念的理解。（3）Sn 与 S 的关系问题 4：当|q|1,qn=a1qn,可以证明，当 n时，an0(让学生课后证明)请学生思考：若设数列an前 n 项和为 Sn，所有项的和为 S，运用极限的思想，你能否发现 Sn 与 S 的关系？讨论结果：S=limSn（4） 求无穷递缩等比数列的和问题 5：怎样求无穷递缩等比数列an的和？Sn=a1a2a3an=,lim Sn=lim因为当|q|1 时，limqn=0, 所以 S= lim Sn=我这时就说：好！我们通过自主探索与合作交流，得出了无穷递缩等比数列的求和公式：S=（|q|1）（5）公式的应用（略）通过应用交流，使学生加深对公式的认识，体验了数学模型化思想，让学生在交往中学习数学。（四）总结反思共同创新本课我们运用情景化、问题形象化、探究化等数学方法，将游戏问题转化为数学模型无穷递缩等比数列的和。为了概括所学内容的逻辑结构，提炼思想观点，引导学生创新，我将本课研究过程和方法概括如下：抽象概括 应用教学全过程概括为：具体问题数学模型解决实际问题。改造 抽象概括解决问题的思想方法：现实问题现实模型数学模型数学方法 检验 探究、深化、拓展、数学模型的解现实问题的解现实问题