课程目标：微积分的创立是数学发展史中的里程碑，它 的发展及应用开创了向近代数学过渡的新时期， 它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。 导数的概念是微积分的核心概念之一，它有及其 丰富的实际背景和广泛的应用。在本章中，将通 过大量的实例，经历由平均变化率到瞬时变化率 刻画现实问题的过程，理解导数的含义，体会导 数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调、 极值等性质及其在实际中的应用，感受导数在解 决数学问题中的作用，感受导数在解决数学问题 和实际问题中的作用，体会微积分的产生对人类 文化发展的价值。1.1.1 变化率问题问题1 气球膨胀率在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了气球的平均膨胀率为当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了气球的平均膨胀率为随着 气球体积 逐渐变大, 它的平均 膨胀率逐 渐变小思考思考? ?l l当空气容量从当空气容量从V V1 1增加到增加到V V2 2时时, ,气球的平气球的平 均膨胀率是多少均膨胀率是多少? ?问题2 高台跳水在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单 位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么: 在0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。需要用瞬时速度描述运动状态。计算运动员在 这段时间里的平均速度,并 思考下面的问题:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探 究:时间时间时间时间3 3月月1818日日4 4月月1818日日4 4月月2020日日日最高气温日最高气温3.53.518.618.633.433.4现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210（注： 3月18日 为第一天）问题3：t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义 是什么？（形与数两方面）问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？（1 ）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如 何量化直线的倾斜程度。t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210（2）由点B上升到C点，必须考察yCyB的大小，但仅仅注意 yCyB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？在考察yCyB的同时必须考察xCxB，函数的本质在于一个 量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210(3)我们用比值 近似地量化B、C这一段曲 线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平 均变化率 (4)分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平均 变化率 现在回答问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的 数学意义是什么？（形与数两方面）定义:平均变化率: 式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,则理解： 1，式子中x 、 y 的值可正、可负，但 的x值不能为0， y 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， y =0 3, 变式思考思考: :l l观察函数观察函数f(xf(x) )的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么? ?OABxyY=f(x )x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线AB的斜率练习:1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = 2 x, 分别计算在下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.(1) 3 , 1 ; (2) 0 , 5 .做两个题吧做两个题吧! ! 1 1 、已知函数、已知函数f f( (x x)=-)=-x x2 2+ +x x的图象上的一点的图象上的一点A A( ( -1,-2)-1,-2)及临近一点及临近一点B B(-1+(-1+xx,-2+,-2+yy), ),则则 yy/ /xx=( )=( ) A A 、 3 B3 B、 3 3xx-( -(xx) )2 2C C 、 3-(3-(xx) )2 2D D 、3-3-xx Dl2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.2x0+x 小结：小结：l l1.1.函数的平均变化率函数的平均变化率l2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率