1.3 微分方程的向量场一、 向量场设一阶微分方程 满足解的存在唯一性定理的条件。过中任一点 有且仅有 一个解 ，满足1将这个方向场称为由微分方程 所确定的向量场。就是该曲线上的点 处的切线斜率，曲线上点 的切线斜率就是 。 的一条曲线，几何意义: 解 就是通过点 解曲线在区域中任意点 的切线斜率是 。如果我们在区域内每一点 都画上一个以值为斜率中心在 点的线段，我们 就得到一个方向场.尽管我们不一定能求出方程的解， 但我们知道2向量场中的一条曲线，该曲线所经过的每一点都与从几何上看，方程 的一个解 就是位于向量场在这一点的方向相切。方向行进的曲线，求方程满足初始值 的解，的一条曲线。就是求通过点形象的说，解就是始终沿着向量场中的3因为，可根据向量场的走向来近似求积分曲线，同时也可根据向量场本身的性质来研究解的性质。在该点的向量相重合。定理1.3L为的积分曲线的充要条件是：曲线在L上任一点， L的切线与所确定的向量场向量场对于求解微分方程的近似解和研究微分方程的几何性质极为重要， 4例1.3.1 在区域 内画出方程 的向量场和几条积分曲线。解：可以用计算各点斜率的方法在网格点上手工画出向量场的方向可以得到向量场，但手工绘图误差较大。我们用Maple 软件包来完成。5Maple指令：DEtoolsphaseportrait # 画向量场及积分曲线(diff(y(x),x)=-y(x),y(x), # 定义微分方程x=-22, # 指定x范围y(-2)=2,y(-2)=1,y(-2)=-2, # 给出3个初始值dirgrid=17,17, # 定义网格密度arrows=LINE, # 定义线段类型axes=NORMAL; # 定义坐标系类型类型6回车后Maple就在 三条积分曲线。 的图形，并给出了过点的网格点上画出了向量场的7 所谓图解法就是不用求微分方程解的具体表达式，根据右端函数和向量场作出积分曲线的大致图形。 图解法只是定性的反映积分曲线的一部分主要特征。 该方法的思想十分重要。因为能够用初等方法求解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的性态对了解该方程所反映的实际现象的变化规律就有很重要的指导意义。二、 积分曲线的图解法8方程所决定的曲线上任意一点 处 方程的向量场的方向都相同。 称为微分方程 我们把 所确定的曲线的等倾线。9例如：微分方程的等倾线为的等倾线为零等倾线称为极值曲线。10拐点曲线：设有连续的偏导数，则一个点成为的拐点的必要条件是，11例1.3.4 讨论方程的拐点曲线。解：由方程得,令,得容易验证不是方程的积分曲线，在区域 上， 是方程的拐点曲线。 上， 在区域 平面分为 和 两部分，它将 1213内容小结微分方程的向量场P28 1（1）（2），2（1）（2）作 业积分曲线的图解法14