定积分有着广泛的用途,先介绍建立定积分的一种适用的简便方 元素法(微元法).第六章 定积分的应用(P274) 本章介绍它在 几何, 物理上的简单应用,培养用数学知识来 分析和解决实际问题的能力.法-The application of definite integral 6.1 微元法的基本思想(补充教材圈26页)小结 思考题 作业平面图形的面积 体 积 平面曲线的弧长6.2 定积分在几何学上的应用(P276)第六章 定积分的应用1.直角坐标系中图形的面积例解用公式,先画D图,围D线,交点坐标轴, 用公式1,左端O,右端A,例 解用公式,先画D图,围D线,坐标轴, 用公式2, 下端上端A,B,例 解2用公式1,先画D图,围D线,坐标轴,小结 公式1：如D图为公式2：如D图为称公式1中的D为(1)型D.称公式2中的D为(2)型D.分成若干块上面讨论过的那两种区域, 只要分别一般情况下,由曲线围成的有界区域,总可以算出每块的面积再相加即可.(2)(1)(1)(2)上连续, 与直线所围成的则曲线平面图形面积为例解 两曲线交点为由于图形关于y轴对称,故解 由对称性,例总面积等于4倍第一象限部分面积解例一般地,当曲线用参数方程表 示时,都可以用类似的变量代换法 处理.例求由极坐标方程给出的平面曲线 所围成的曲边扇形的面积A.和射线解如图A为红色面积.把 A分成 一牙儿一牙儿的2.极坐标下平面图形的面积(P276)如图曲边扇形的面积解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积例 求双纽线所围平面图形的面积.解 利用对称性知解求交点由对称性2圆柱圆锥圆台二、体 积旋转体旋转体 这直线叫做旋转轴由一个平面图形绕这平面内一条直线 旋转一周而成的立体1. 旋转体的体积如果旋转体是由连续曲线 直线及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体,体积V为多少?例解 如图红色为曲边梯形, 切片儿法 垂直于x轴把旋转立体为虚线所示.立体V切成一片儿一片儿的解薄柱壳儿法 垂直于x轴把旋转立体为 虚线所示.阴影切成一个一个的小细条，每个小细条绕 x=c 转得一个 薄柱壳，所有薄柱壳的体积之和为Voxyoxyoxy1oxyoxyoxyoxyoxy例 设空间某立体由一曲面和垂直于x轴的两平面A(x)表示过点x 且垂直于x轴的截面面积, 求立体的体积V.2.已知平行截面面积求立体的体积(P280)x = a, x = b围成.切片儿法垂直于x轴把立体V 切成一片儿一片儿的解 先画一个半径为R的圆柱体建立坐标,例一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角计算这平面截圆柱体所得 立体的体积.只讲前两法,(1)垂直于x轴的截面为底圆中心为O,两面交线,物体轮廓线,切法:用切片法,怎么切?底圆方程为直角三角形.解 先画一个半径为R的圆柱体建立坐标,例一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角计算这平面截圆柱体所得 立体的体积.只讲前两法,(2)垂直于y轴的截面为底圆中心为O,两面交线,物体轮廓线,切法:用切片法,怎么切?底圆方程为矩形.三、平面曲线的弧长(P284)解把 L 分成一小段儿一小段儿的解所求弧长为例 悬链线方程计算介于 之间一段弧长度.解例 计算曲线的弧长解为把方程参数化,对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长例 求星形线的全长s.所以把原方程变形为证 设正弦线的弧长等于设椭圆的周长为证明正弦线例的弧长等于椭圆的周长.椭圆的对称性解解求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分分平面图形的方法有: 分竖条,分横条, 分成扇形,分成圆环.的面积.运算）四、小结旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积切片法(取变量轴平行于转轴)薄柱壳法(取变量轴垂直于转轴)平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下求弧长的公式定积分在几何学上的应用 思考题1位置无关. 设分别表示 从点向抛物线 引出的两条切线的切点. 在点的切线方程:即又解定积分在几何学上的应用于是切线的方程分别为所围图形的 面积为可见无关,位置无关.