第三章 向量空间3.1 n维向量概念及其线性运算3.1.1 n维向量及其线性运算定义 由n个数 组成的有序数组 称为一个n维向量， 数 称为该向量的第i个分量 向量通常写成一行： 称为行向量， 有时也写成一列： 称为列向量。 也是1n矩阵， 也是n1矩阵， 既然向量又是一种特殊的矩阵， 则向量相等、零向量、负向量的定义及向量运算的定义都应与矩阵的相应的定义一致。 定义 所有分量都是零的n维向量称为n维零向量。 零向量记作 注意：不同维数的零向量是不相等的。 把向量 的各个分量都取相反数组成的向量， 称为 的负向量， 记作 定义 如果n维向量 与n维向量 的对应分量都 即 相等， ，则称向量 与 相等， 记作 定义 （向量的加法） 设n维向量 ，则 与 的和向量 利用负向量的概念，可以定义向量的减法： 定义（数与向量的乘法） 设 是一个n维向量， k为一个数， 则数k与 的乘积称为数乘向量， 简称为数乘， 记作 ，并且 例1 设 ，求向量 解例2 设 求满足 的 解3.1.2 向量的线性组合 1、向量的线性组合 定义 设 是一组n维向量， 是一组常数， 则称 为 的一个线性组合。 常数 称为该线性组合的组合系数。 若一个n维向量 可以表示成 则称 是 的线性组合， 或称 可用 线性表出或线性表示） 仍称 为组合系数， 或表出系数。 零向量可以用任意一组同维数的向量线性表出： 称它为零向量的平凡表出式。 这说明： 表出系数可以全为零。 表出系数全为零时被表出的向量必是零向量。 若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组。 m个向量 组成的向量组可记为： 或 例3 设 ，将A按行分块可得一个n维行向量组 称之为A的行向量组； 将A按列分块可得一个m维列向量组 称之为A的列向量组。 考虑下面的n维标准单位向量组：中第i个分量为1， 其余分量都为0.任意一个n维向量都可以唯一地表示成这n个标准单位向量 的线性组合：3、线性组合的矩阵表示法向量 可用向量组 线性表出的充分必要条件是 存在m个数 ，使得 怎样用向量组 线性表示 ，即求出 ，怎样求出 转化为求非齐次线性方程组的解，例5 问 能否表示成 的线性组合？ 解 通解方程组为 即方程组的唯一解， 所以 能唯一表示成 的线性组合。 例6 问 能否表示成 的线性组合？ 解 同解方程组为 取 所以 能表示成 的线性组合，且方法有很多。，则有 K可任意取值3.2 线性相关与线性无关 3.2.1 线性相关性概念 定义 是m个n维向量， 如果存在m个不全为零的数 使得 ，则称向量组 线性相关， 为相关系数。 否则， 称向量组 线性无关。 设 称定义 设 是一个n维向量组。 若 仅当 时成立， 则称向量组 线性无关。 判断线性相关性的方法： 1、一个向量 单个向量 线性相关 单个向量 线性无关 2、两个向量 两个向量线性相关的充要条件为 对应分量成比例。 线性无关 线性相关 P94 1(5) 3、三个及三个以上向量 （1）向量个数和向量维数相等例 问向量组 是否线性相关。 解 设即系数行列式 所以此线性方程组只有零解， 这说明线性无关。 方法：计算由每个列向量作为一列的行列式的值， 若不等于0， 线性无关。 若等于0， 线性相关。 P94 1(1) （2）向量个数大于向量维数不需判断，肯定线性相关P94 1(6) （3）向量个数小于向量维数方法： 向量组的秩小于向量的个数， 线性相关向量组的秩等于于向量的个数， 线性无关例 问向量组 是否线性相关。 解:所以，及向量组的秩也为2， 小于向量的个数， 所以向量组线性相关。怎样求出相关系数已知向量组 试讨论其线性相关性。 若线性相关， 则求出一组不全为零的数 使得 解： 设即因为 所以方程组有非零解。 故向量组线性相关。方程组的同解方程组为：令，可得一组解为，即，得例 若 线性无关， 证明以下向量组线性无关： 证 设 ，将已知条件代入得 整理得因为线性无关， 必有， 解得 ，所以 线性无关。 定理 m个n维向量 线性相关 至少存在某个 是其余向量 的线性组合。 即， 线性无关 任意一个 都不能表示为其余向量的线性组合。 定理 如果向量组 线性无关 ，而添加一个同维向量 后所得到的向量组 线性相关， 则 可以用线性表出 ，且表示法是惟一的。 定理 设 为线性相关组， 则任意扩充后的同维向量组 必为线性相关组。 简述为： 相关组的扩充向量组必为相关组， 或者， 部分相关， 整体必相关，它的等价说法是无关组的子向量组必为无关组，或者， 整体无关，部分必无关。定理 设有两个向量组， 它们的前n个分量对应相等： 如果 为线性相关组， 则必为线性相关组，3.2.3 线性相关性的若干基本定理向量组称为向量组的“接长”向量组；而把向量组称为向量组的“截短”向量组； 相关组的截短向量组必为相关组；无关组的接长向量组必为无关组；3.3 向量组的秩 3.3.1 向量组的极大线性无关组定义 设有两个n维向量组若向量组R中的每个向量 都可以由向量组S中的向量 线性表出， 则称向量组R可以由向量组S线性表出。 根据此定义， 容易证明向量组之间的线性表出关系具有传递性， 即若有三个向量组 如果R可由S线性表出， S可由T线性表出， 则R必可由T线性表出。 定义 若向量组R可以由向量组S线性表出， 向量组S也可以由向量组R线性表出， 则称这两个向量组等价。 等价性质 设R，S，T为三个同维向量组， 则有 （1）反身性 R与R自身等价。 （2）对称性 若R与S等价，则S与R等价。 （3）传递性若R与S等价，S与T等价，则R与T等价。例2 设向量组显然有 ，记 易知R，S，T都是线性无关的向量组， 且 可由R线性表出， 可由S线性表出， 可由T线性表出， 具有这种特性的向量组R，S，T 都称为向量组的极大线性无关组。 定义 设T是由若干个（有限或无限多个）n维向量组成的向量组。 若存在T的一个部分组 满足以下条件： （1） 线性无关 （2） 对于任意一个向量 ，向量组 都线性相关， 则称 为T的一个极大线性无关向量组， 简称为极大无关组。 可以这样理解 在T中的“极大性”： 对于“无关性”来说， S在T中已经“饱和”了， 即S本身是线性无关组， 在S中任意添加T中的一个 向量 ，就成为线性相关组了。 向量组S是T的极大线性无关向量组 等价于T中的任一个向量均可用S中向量 惟一地线性表出。定理 向量组T与它的任意一个极大无关组等价， 因而T的任意两个极大无关组等价。 例4 由全体n维向量所组成的集合记为 ，求 的一个极大线性无关组。 并证明 中的任意n+1个向量一定线性相关。 解 n维标准单位向量组 是线性无关的， 且任一n维向量 都可用 线性表出， 即 从而 是 的一个极大线性无关组。 设 是 中的任意n+1个向量， 由于向量的个数大于向量的维数， 可知 一定线性相关。 定理 设有两个n维向量组 和 且已知向量组R可由向量组S线性表出。 （1） 如果 ，则R必为线性相关组。 （2） 如果R为线性无关组， 则必有 推论1 任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相同。 推论2 一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相同。 3.3.2 向量组的秩 定义 向量组T的任意一个极大无关组中所含向量的个数成为T的秩， 记为 ，或者秩（T） 定理 如果向量组S可由向量组T线性表出， 其秩分别为 则 推论 等价的向量组必有相同的秩。3.3.3 向量组的秩及极大无关组的求法当向量组中向量的个数与维数不同时有下面判定定理。 定理5 设m个n维列向量 ，取 阶矩阵 设 的秩 若，则向量组 线性无关。 若 ，则向量组 线性相关， 且称矩阵A的秩为向量组的秩。 推论 向量组中所含向量的个数大于向量的维数时， 向量组线性相关。 例 讨论向量组 的线性关系。 解 取矩阵 ，对A作初等行变换求秩。 因为 （向量的个数）， 故 线性相关。 定义10 设 是n维向量， 如果存在一组实数 使得成立， 则称向量 可由向量组 线性表示， 或称向量 是向量 的线性组合。 如例9中， 可由 线性表示， 且为 例10中， 也可由 线性表示， 且为 设 为任意一个n维向量， 由于 因而 是可以由n维单位坐标向量线性表示。 定义11 设T是n维向量所组成的向量组， 在T中选取 个向量 如果满足： (1) 线性无关； (2) 任取 ，总有 线性相关。 则称向量组 为T的一个极大线性无关组, 简称极大无关组。 例11 求例10中的向量组 的极大无关组。 解 线性无关， 故是极大无关组。 除此以外, 也是极大无关组。 可见， 一个向量组的极大无关组不是唯一的， 但极大无关组中所含向量的个数却是相同的， 这也正是对一个向量组来说秩是一定的。