1 场的概念（Field）一、场的概念 场是用空间位置函数来表征的。若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或矢量) 与之对应, 则称在 V 上确定了一个 数量场 (或矢量场). 场都是矢量场。 例如: 温度场和密度场都是数量场, 重力场和速度若场中物理量在各点处的对应值不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。 注引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质. 2.场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 1.场的特点： 分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器进行观察测量，靠人脑去想像其分布情况；具有客观物质的一切特征，有质量、动量和能量。3、描述方法函数表示法：借助一定坐标系下的函数来表示场的分 布。对矢量场，用 ；数量场常用 表述 。几何表示法，也叫图示法：用能反映场性质和分布的一 族曲线或曲面表示场的分布特征，分别称为矢量线（像 电力线、磁力线）；等值面（像等温面，等位面）。二、数量场、矢量场的描述方法以下讨论中总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数。因此给定了某个数量场就等于给定了一个数性函数 在引进了直角坐标系后, 点 M 的位置可由坐标确定。同理,每个矢量场场都与某个矢性函数 并假定它们有一阶连续偏导数。 相对应对应 . 这里 为所定义区域上的数性函数, 数量场的等值面（线）：是由场中使u取相同数值的点所组成的曲面。（c值不同对应不同等值面）等值面其方程为等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快？直观表示数量u在场中的分布。以温度场为例：热源等温面等值面举例可以看出：数量场的函数是单值函数，各等值面 是互不相交的。矢量场场的矢量线线：矢量线线上每一点处处曲线线与对应对应 于该该点的矢量相切 。 直观描述矢量在场中的分布情况。2. 矢量线连续分布，一般互不相交。图2 矢量线ArMxyzol观察： 1.在曲线上的每一点M处， 场的矢量都位于该点处的切 线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力线 、磁场的磁力线、流速场中的流线等。MA ( r )drrO 矢量线线的微分方程：M点位置矢量线线l 微分 场矢量l矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的 成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程在场矢量 不为零的条件下，由线性微分方程组的理 论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场中每 一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的点的两 条矢量线没有公共点。例2 求矢量场的矢量线方程。【例1】 设点电荷q位于坐标原点，它在空间一点 M(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为式中，q、均为常数， r=xi+yj+zk为M点的位置 矢量。求E的矢量线方程并画出矢量线图。整理求解作图矢量的直角 坐标系方程矢量线的 微分方程解题过程：图 点电荷的电场矢量线 (P27)2、方向导数方向导数是数性函数 在一点处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取 的方向有关，一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示， 为场中的任意方向， M0是这个方向线上给定的一点，M为同一线上邻近的一点。M0M为M0和M之间的距离，从M0沿 到M的增量为若下列极限存在，则该极限值记作 ，称之为数量场 在 M0处沿 的方向导数。例题例1 求函数方向的方向导数。例3 设例4 求数量场方向的方向导数。3、梯度由于从一点出发，有无穷多个方向，即数量场沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导数，则可引进梯度概念。在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过一点梯度：（场在某点的梯度为一矢量）它的大小等 于所有方向导数的最大值，它的方向为取得最大值 的方向。梯度 (Gradient)梯度、方向导数与等值面当 ,即 与 方向一致时, 为最大。方向导数与梯度的关系：是等值面 上p1点法线方向单位矢量。它指 向 增长的方向。 表示过p2 点的任一方向。易见，p1p0p2等值面 等值面所以即p1p0p2等值面 等值面该式表明：即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投 影。梯度的概念重要性在于，它用来表征数量场 在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。4、 算符（哈密顿算符）算符既具有微分性质又具有方向性质。在任 意方向 上移动线元距离dl， 的增量 称为方向微分，即显然，任意两点 值差为总结：数量场梯度的性质（1）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在 该方向的投影。（2）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等 值面，且指向场增大的一方。（注意：等值面 的法向有两个）（3）一个数量场的梯度（一旦）确定，则该数 量场也随之确定，最多相差一个任意常数标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。例1 三维高度场的梯度图 三维高度场的梯度例2 电位场的梯度图 电位场的梯度梯度、方向导数与等值面高度场的梯度 与过该点的等位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数；补充： 梯度的物理意义 数量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向. 梯度的大小为该点数量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数;例1 三维高度场的梯度 与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最大变化率； 指向地势升高的方向。图 三维高度场的梯度例2 电位场的梯度电位场的梯度 指向电位增加的方向。图 电位场的梯度3 矢量场的通量与散度 1、通量一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量 场 方向通过 的流量是dQ，而dQ是以ds为底，以 v cos为高的斜柱体的体积，即称为矢量 通过面元 的通量。对于有向曲面s，总可以将s分成许多足够小的面元 ，于是ds通过曲面s的通量f即为每一面元通量之和对于闭合曲面s，通量f为向量场 沿选定方向的曲面S的面积分定义称为 向曲面指定一侧穿过曲面S的通量。例题例1 设由矢径圆锥面曲面S。P55 3. 求矢量场所围成的封闭有一由 如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是 ：（）（）（）表示有净的矢量 线流入，闭合面 内有吸收矢量线 的负源；表示有净的矢量 线流出，闭合面 内有产生矢量线 的正源；表示流入和流出 闭合曲面的矢量 线相等或没有矢 量线流入、流出 闭合曲面闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭 合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系若S 为闭合曲面，可根据净通量 的大小判断闭合面中源的性质: 0 (有正源) 0 (有负源 ) = 0 (无源)2、散度设封闭曲面s所包围的体积为 ，则就是矢量场 在 中单位体积的平均通量，或者平均发散量。当闭合曲面s及其所包围的体积 向其内某点 收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作称为矢量场 在该点的散度(div是divergence的缩写)。散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发 散的强弱程度，当div ，表示该点有散发通量的正源；当div ，表示该点有吸收通量的负源；当div ，表示该点为无源场。的散度为定理重 点散度(Divergence)的表达式直接从散度的定义出发，不难得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场散度的积分。上式称为矢量场的Gauss定理。 积分的Gauss定理注：它能把一个闭合曲面的面积分转为对 该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。推论2 若处处散度为0，则通量为0.推论3 若某些点（或区域）上有散度不为0或不存 在，而在其他点上都有散度为0，则穿出包围这些点 （或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，为一常 数。电学上的高斯定理： 穿出任一封闭曲面S的电通量 ，等于其内各点电荷的代数和。高斯定理4 矢量场的环量及旋度(Rotation)1. 矢量场的环量定义：线矢量l: 矢量场A中的一条封闭的有向曲线环量：（图2）性质： 是标量 0，l 内有旋涡源 =0，l 内无旋涡源图2 矢量场的环量(P56) 定义线积分向量场 沿空间有向闭曲线 l 的称为 沿闭曲线l的环量。环量的表达式图3 闭合曲线方向与面元的方向示意图 (P59)定义：若 存在，则称此极限为矢量场A沿l之正向的环量在点P处沿n方向的环量面密度。性质：l围成的面元法矢量旋涡面的方向矢量R 在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密 度 方向为环量面密度最大的方向；模为最大环量面密 度的值 旋度的定义 定义：固定矢量R为矢量A的旋度，记作 ：rot A=R重合，最大 夹角，中间值 垂直， 0R旋度矢量图4 旋度及其投影 旋度矢量R在n方向的投影:涡量（或环量面密度）旋度 矢量场在某点的旋度，其大小为该点涡量的最大值矢量场在某点的旋度，其大小为该点涡量的最大值 ，方向为使得该点涡量取最大值的方向，方向为使得该点涡量取最大值的方向物理意义：是场在矢量方向上旋转性的强弱物理意义：是场在矢量方向上旋转性的强弱定义 向量场的旋度定义为 旋度(Rotation or Curl)简单地说,旋度是个矢量，它的物理意义是场在该矢量方向上旋转性的强弱。l利用环量与旋度(它可以从整体上描述场旋转的强度)，我们可以用向量的形式重写Stokes公式。小结1、散度（流出的量） 发散源 通量即该矢量(的垂直平面分量)穿过平面的大小 一般点的散度为0 ，散度不为0的点表示该点有提供源 (source) 散度是标量，物理意义为通量源密度，可以从Gauss公式 理解 散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有 源场（有正源或负源）矢量场2、旋度（没有流出的量） 旋涡源 旋度即该矢量(的平行平面分量)沿平面的大小密度(即大 小/面积) 旋度不为0表示有量在该平面“逗留” 旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从Stokes公 式里理解 旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有 旋场 一、无旋场5 5 几种重要的矢量场无旋场有势场保守场空心球体环面体二、无源场矢量管：矢量线构成的管形曲线（矢量线与曲面重合 ）矢量场的Helmholtz定理空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋 度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并 且可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠 加，即：三、管形场与有势场 式知道, 此时沿任何封闭曲面的曲面积分都等于零. 中作一矢量管 (图2), 即由矢量线围成的管状的 若一个矢量场 的散度恒 为零, 即 我们曾 称 为无源场. 从高斯公 我们又把 称作管形场. 这是因为, 若在矢量场 曲面. 用断面 去截它, 以 表示所截出的管 的表面, 这就得到了由所围围成的封闭闭曲面 S. 于是由(1)式得出而矢量线与曲面的法线正交, 所以这等式说明了流体通过矢量管的任意断面的流量是 间