有限元分析理论基础山东交通学院汽车工程系 车辆工程教研室Date1爱学习,爱交院材料力学与弹性力学 本课程中所指的是有限单元法在弹 性力学问题中的应用。因此要用到弹性力 学的某些基本概念和基本方程。本章将简 单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有 限单元法的预备知识。预备知识Date2爱学习,爱交院弹性力学 区别与联系 材料力学 1、研究的内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运 动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：有相同也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件 ，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研 究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其 它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺 寸相当的构件。Date3爱学习,爱交院弹性力学 区别与联系 材料力学 3、研究的方法：有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究 ，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法 。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因 而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。 这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是 近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小 单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分 析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我 们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程 度，并确定它们的适用范围。Date4爱学习,爱交院材料力学 区别与联系 弹性力学Date5爱学习,爱交院弹性力学 区别与联系 材料力学 总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。 它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学 ，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结 果更精确，因而应用的范围更广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对 象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解 算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计 算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材 料性质的假定：Date6爱学习,爱交院弹性力学中关于材料性质的假定 (1) 物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体 的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如 应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。 (2) 物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除 去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样 ，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一 瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。 (3) 物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成 的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因 而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变 。Date7爱学习,爱交院弹性力学中关于材料性质的假定(4) 物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各 个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。 (5) 物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后， 整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸， 因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形 以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形 后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体 的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去 不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方 程。Date8爱学习,爱交院2-1 外力、应力、应变与位移在有限元法中的表示方法一、外力 外力可以分为体积力、面积力和节点之中力*，分别用以下符号表示：1）体积力 2）表面力 3）节点集中力 节点集中力是广义力，可以是力，也可以是力矩。Date9爱学习,爱交院二、应力 空间三维问题 平面问题三、应变空间三维问题 平面问题四、位移空间三维问题 平面问题一维问题 一维问题 一维问题 Date10爱学习,爱交院2-2 弹性力学的基本方程一、平衡方程 在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，它的直于坐标 轴，而棱边的长度分别为，PA=dx，PB=dy，PC=dz，如上图2-1所示。以x轴为投影轴，列出投影的平衡方程，得：Date11爱学习,爱交院Date12爱学习,爱交院整理后得到：在上式中消掉得到利用和还可以得到另外两个方程，即 ：弹性体平衡微分方程该方程给出地是微元体的平衡条件，即平衡的微分条件。也就是说如果 整个结构处于平衡状态，结构内部任意点（微元体）都必须满足的条件。Date13爱学习,爱交院二、几何方程给出弹性体内部任意点处的应变与位移之间的微分关系。 1、应变与位移的关系以为例，弹性体内任意点的应变与位移的关系如图示： 在结构取一微小线段，两个端点变形前的坐标分别为 ： 、两个端点变形后的坐标分别为：、Date14爱学习,爱交院在小变形情况下，变形后微小线段的长度可以近似表示为为：根据应变的定义可得 ：Date15爱学习,爱交院同理可推导出其它5个应变分量。则弹性体内任意点的6个应变 分量可以表示为：对于平面问题 ，应变-位移关 系可以简化为 ：对于一维问题，应变-位移关系 可以进一步简化为：Date16爱学习,爱交院2、应变-位移关系的矩阵表示三维情况令：其中称微分算子，称算子矩阵。Date17爱学习,爱交院二维问题的应变-位移关系可简化为：一维问题的应变-位移关系可进一步简化为：则应变-位移关系可以简记为统一的矩阵形式 ：Date18爱学习,爱交院三、物理方程（本构关系） 1、有限元本构关系的矩阵形式为 ：对于三维情况有： Date19爱学习,爱交院2、对于二维平面应力问题的定义平面应力由此可以得出 此时有 3、对于二维平面应变问题的定义平面应变由此可以得出 此时有 Date20爱学习,爱交院四、相容方程（协调方程 ） 相容方程给出弹性体的变形协调性条件，弹性体在变形之前是连续的，变形后仍然要保持连续。即弹性体内部各点的位移必须是单值连续的，不能出现重叠或开裂现象。 由于有限元采用的多项式位移插值函数全部满足相容条件，只要求了解这一概念，具体形式不作要求。Date21爱学习,爱交院虚功原理及虚功方程图1-8a示一平衡的杠杆，对C点 写力矩平衡方程：图1-8b表示杠杆绕支点C转动时 的刚体位移图：综合可得：即：式(1-15)是以功的形式表述的。 表明：图a的平衡力系在图b的 位移上作功时，功的总和必须 等于零。这就叫做虚功原理。Date22爱学习,爱交院虚功原理进一步分析。当杠杆处于平衡状态时， 和 这两个位 移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它 倾斜，一定满足(1-15)式的关系。将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分 析和计算结构。对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它 是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想， 故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总 功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图1- 8a中的 和 所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移 上，(因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的 位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移 ，亦即是状态(a)假象的位移。Date23爱学习,爱交院虚功原理必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到 的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须 是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚 位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符 合的微小的刚体位移。还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约 束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零 。这时该约束力叫做被动力。(如图1-8中的反力 ，由于支点 C没有位移，故 所作的虚功对于零)。反之，如图1-8中的 和 是在位移过程中作功的力，称为主动力。因此，在 平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在 写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的 。Date24爱学习,爱交院虚功原理与虚功方程虚功原理表述如下：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约 束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有 的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数 和)恒对于零。虚功原理用公式表示为：这就是虚功方程，其中P和 相应的代表力和虚位移 。Date25爱学习,爱交院虚功原理-用于弹性体的情况虚功方程(1-16)是按刚体的情况得出的，即假设图1-8的杠 杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程(1-15)或(1-16) 中没有内功项出现，而只有外功项。将虚功原理用于弹性变形时，总功W要包括外力功(T)和内 力功(U)两部分，即： W = T - U ；内力功(-U)前面有一负 号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的 ，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负 值。根据虚功原理，总功等于零得： T - U = 0外力虚功 T = 内力虚功 U弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡 状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位 移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功 (内力功)。Date26爱学习,爱交院有限元分析的一般过程一、结构的离散化 将结构或弹性体人为地划分成由有限个单元，并通过有限个节点 相互连接的离散系统。这一步要解决以下几个方面的问题:1、选择一个适当的参考系，既要考虑到工程设计习惯，又要照顾到建立 模型的方便。2、根据结构的特点，选择不同类型的单元。对复合结构可能同时用到多 种类型的单元，此时还需要考虑不同类型单元的连接处理等问题。3、根据计算分析的精度、周期及费用等方面的要求，合理确定单元的尺 寸和阶次。 4、根据工程需要，确定分析类型和计算工况。要考虑参数区间及确定最 危险工况等问题。5、根据结构的实际支撑情况及受载状态，确定各工况的边界约束和有 效计算载荷。Date27爱学习,爱交院在有限元法中通常选择多项式函数作为单元位移插值函数，并利用节点处的位移连续性条件，将位移插值函数整理成以下形函数矩阵与单元节点位移向量的乘积形式。位移插值函数需要满足相容（协调）条件，采用多项式形式的位移插值函数，这一条件始终可以满足。但近年来有人提出了一些新的位移插值函数，如：三角函数、样条函数及双曲函数等，此时需要检查是否满足相容条件。二、选择位移插值函数 1、位移插值函数的要求Date28爱学习,爱交院形函数的性质： 1）相关节点处的值为 1，不相关节点处的值为 0。 2）形函数之和恒等于 1。2、位移插值函数的收敛性（完备性）要求： 1） 位移插值函数必须包含常应变状态。 2）位移插值函数必须包含刚体位移。3、复杂单元形函数的构造对于高阶复杂单元，利用节点处的位移连续性条件求解形函 数，实际上是不可行的。因此在实际应用中更多的情况下是利用 形函数的性质来构造形函数。以阶梯轴的形函数为例两个形函数分别为在 节点有 ：在 节点有 ：在任何点有 ：这里我们称 为 的相关节点， 为 的相关节点，其它 点均为不相关节点。 Date29爱学习,爱交院使用最小势能原理，需要计算结构势能，由弹性应变能和外力虚功两部分构成。结构已经被离散，弹性应变能可以由单元弹性应变能叠加得到 ，外力虚功中的体力、面力都是分布在单元上的，也可以采用叠加计算。1、计算单元弹性应变能 单元体积 。 由几何关系代入前式有： 令 ： 称单元刚度矩阵，简称单刚。 这样单元弹性应变能可以表示为 ： 三、 单元分析目的：计算单元弹性应变能和外力虚功。Date30爱学习,爱交院2、计算单元外力功 1) 体力虚功令 ： 称单元等效体力载荷向量 。 单元体力虚功可以表示为： 2) 表面力虚功