第九章 力矩分配法一种渐进法学习内容 转动刚度、分配系数、传递系数的概念 及确定。 力矩分配法的概念，用力矩分配法计 算连续梁和无侧移刚架。 无剪力分配法的概念及计算。 利用对称性简化力矩分配法计算。 学习目的和要求 力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种 实用计算方法。它不需要建立和求解基本方程 ，直接得到杆端弯矩。运算简单，方法机械， 便于掌握。 本章的基本要求： 熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和 无侧移刚架的计算。掌握无剪力分配法的计算 ，了解用力矩分配法计算有侧移刚架。 一、基本概念1、力矩分配法概述2、正负号规定： 在力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩 、固端弯矩的正负号规定与位移法相同 ，即都假定对杆端顺时针转动为正号。 作用与结点上的外力偶荷载，约束力矩 ，也假定顺时针转动为正号，而杆端弯 矩作用于结点上时逆时针转动为正号。 3、转动刚度S： 表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上= 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加 的力矩。AB 杆A 端的转动刚度SAB与AB 杆的线刚度 i（材料的性质、横截面 的形 状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而 与近端支承无关。当远端是不同支承时 ，等截面杆的转动刚度如下：如果把A端改成固定铰支座、可动铰支座或可转动（但不能移动） 的刚结点转动刚度SAB的数值不变。4、传递系数C： 杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩 的比值。即：CM远/M近 利用传递系数的概念，远端弯矩可表达 为：MBA=CABMAB 等截面直杆的转动刚度和传递系数如下 表。例题 1转 动 刚 度在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。MAB1MABMAB111MAB下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB转动刚度SAB=4i是（ ） iiiiiiAAAAA4iSAB3iBBBBB返回二、基本运算 力矩分配法的基本运算指的是，单结点 结构的力矩分配法计算。1、单结点结构在结点集中力偶作用下的计算 如图1所示结构，结点集中力偶m作用下 ，使结点转动，从而带动各杆端转动， 杆端转动产生的近端弯称为分配弯矩， 产生远端弯矩称为传递弯矩。 分配弯矩：M1j1jm （j=A，B，C） （1） 传递弯矩： Mj1 cM1j （j=A，B，C） （2） 注意： 结点集中力偶m顺时针为正，产生正的分配弯矩。 分配系数 1j 表示1j杆1端承担结点外力偶的比率，它 等于该杆1端的转动刚度S1j与交与结点1的各杆转动刚度 之和的比值，即：1jS1j/S1j ，且 1j1 （3） 只有分配弯矩才能向远端传递。 分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩 是杆端转动时产生的远端弯矩。单结点结构在集中结点力偶作用下的力矩分配法iBCAMMiA=4i=SiAMiB=3i=SiBMiC=i=SiCM= MiA+MiB+MiCM=0a）分配力矩注：1）称为力矩分配系数。且=1 2）分配力矩是杆端转动时产生的近端弯矩。 3）结点集中力偶荷载顺时针为正。2、传递系数C：杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩 的比值。即：b）传递弯矩 Mji=CMij j=A，B，C注：1）传递力矩是杆端转动时产生的远端弯矩 。2）只有分配弯矩才能向远端传递。返回2、单结点结构在跨间荷载作用下的计算 将整个变形过程分为两步： 第一步，在刚结点加刚臂阻止结点转动，将连续梁分解为两根单 跨超静定梁，求出各杆端的固端弯矩。结点B各杆端固端弯矩之 和为附加刚臂中的约束力矩，称为结点不平衡力矩MB。 第二步，去掉约束，相当于在结点B加上负的不平衡力矩MB， 并将它分给各个杆端及传递到远端。 叠加以上两步的杆端弯，得到最后杆端弯矩。 返回单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法 200kN 20kN/m3m3m6m3i4iABC200kN 20kN/mABCABC1）锁住结点，求固端弯矩150150902）去掉约束，相当于 在结点加上负的不平衡 力矩，并将它分给各个 杆端及传递到远端。MB=15090=60MBMBmBAmBCMB=60 SBA=43i=12iSBC=34i=12iBA=12i/24i=1/2 BC=12i/24i=1/23030153）叠加1）、2）得到最后杆端弯矩。 计算过程可列表进行1/21/2150m150 9030 3015M175120120ABCM图（kN.m)17512090300不平衡力矩= 固端弯矩之和节点不平衡力 矩要变号分配.例题 2单结点力矩分配法返回i=1i=1i=22m2m4m4mABCD40kN/m100kN15kN用力矩分配法计算,画M图。解：1）求AB= AC=AD=4/92/93/92）求m mAB= mBA=mAD=50 50 80M=15MA mAB mADmACM+MA=mAB+mAD+mAC M=50+8015= 45结点BACD杆端分配系数BAABADACCADA4/93/92/9分配与传递20固端弯矩 5050 8010151010最后弯矩 4070 6510 10100M图（kN.m)2m2m4m4mABCD40kN/m100kN15kN40701001080M图（kN.m)三、多结点力矩分配法 用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架，只要 逐次放松每一个结点，应用单结点的基本运算，就可逐 步渐近求出杆端弯。以图1所示连续梁为例加以说明。 加入刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定 梁，计算各杆固端弯矩m，由结点力矩平衡求刚臂内的 约束力矩（称为结点的不平衡力矩），如图b，图b与原 结构的差别是： 在受力上，结点B、C上多了不平衡力矩MB、MC；在变 形上结点B、C不能转动。 为了取消结点B的刚臂，放松结点B（结点C仍锁住） ，在结点B加上（MB），如图c,此时ABC部分只有一 个角位移，并且受结点集中力偶作用，可按基本运算进 行力矩分配和传递。结点B处于暂时的平衡。此时C点 的不平衡力矩是MC+ M传 。为了取消结点C的刚臂，放松结点C，在结点C加上（ (MC+ M传)），如图d，为了使BCD部分只有一个角位移 ，结点B再锁住，按基本运算进行力矩分配和传递。结点 C处于暂时的平衡。 传递弯矩的到来，又打破了B点的平衡，B点又有了新 的约束力矩M传，重复、两步，经多次循环后各结点 的约束力矩都趋于零，恢复到了原结构的受力状态和变形 状态。一般23个循环就可获得足够的精度。 叠加：最后杆端弯矩： M=M分配M传递MF 24kN/m50kN12812875MB=128MC=53MB24kN/m50kN4m4m8m8mABCC 2EI2EIEI取EI=8i=2i=2 i=1BA=0.6 BC=0.4 CB=0.4 CD=0.676.8 51.225.6MC=78.6MC=78.631.4 47.215.715.715.79.4 6.33.2分配系数逐次放 松结点 进行分 配与传 递固端弯矩最后弯矩0.60.40.40.6 12812875 51.276.825.6 31.4 47.215.7 6.39.43.2 1.31.90.7 0.30.40.2 0.10.1 086.6 86.6124.2 124.24m4m8m8m24kN/m50kN ABCC固端弯矩 最后弯矩12812875 086.6 86.6124.2 124.286.6124.2192i=2i=2 i=1100M图（kN.m)Mik86.6 41.43.8 49.2 Mki/201.920.7000M86.6 43.324.5 49.2M之比i之比i=2i=2 i=1i=2i=2 i=1校核i=2i=2 i=1i=2i=2 i=1返回变形条件的校核：ijikijik ii MM=DDijikjiijkiikiiMMMM = D-DD-D332121ijjiijkikiikiMMiMMD-D =D-D321321ikkiikikkikiikikikiMMimMmMD-D =- =3213)(21)( jikikikmMM-=DkiikikMMMD-D=D21由此可见，在同一结点上各杆杆端转角相等的前提下，两杆i端的kiikikMMMD-D=D21值之比等于其线刚度之比。注意： 多结点结构的力矩分配法得的是渐近解。 首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛 。 不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松 时，它们之间的杆的转动刚度和传递系数定不出来）；但 是，可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛 。 每次要将结点不平衡力矩变号分配。 结点i的不平衡力矩Mi 总等于附加刚臂上的约束力矩 ，可由结点平衡来求。 在第一轮第一个分配结点：Mi=MFm （结点力偶荷 载顺时针为正） 在第一轮其它分配结点：Mi=MFM传m （结点力偶 荷载顺时针为正） 以后各轮的各分配结点：Mi=M传 （86）例题 3连续梁100kN/mi=1.92i=1.37i=2.4i=1 2.5m3.5m4.82mA123B解: 1) 求分配系数:0.513 0.4780.363 0.6370.762 0.2382) 求固端弯矩:78.1 102.0102.0 33.333.3 288m1,312.3 11.6194.1 60.65.897.162.3 109.3 31.251.4 16 15.221,341.7 1320.97.6 10.318.225.29.11,32.7 2.51.36.9 3.23.5 1.7 3.11.60.921,30.5 0.40.21.2 0.40.6 0.3 0.50.30.221,30.1 0.10.2 0.1 M0109.7109.742.3 42.3211.7211.7109.742.3211.7M(kN.m)78.1 15350288返回例题 4无侧移刚架20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i20kN/m1.5miiACEGHSAC=4i SCA=4iSCH=2iSCE=4iAG=0.5AC=0.5CA=0.4CH=0.2CE=0.4结点 杆端ACE AGACCACHCECHm0.50.50.40.20.415返回0.50.50.40.20.415 7.5 7.53.751.50 0.75 1.50 0.75 0.750.37 0.380.190.08 0.03 0.08 0.04 0.040.02 0.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmM7.117.112.360.781.580.7920kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.