在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于 感到紧张，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。 如果主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近女 士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现主人 是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整 个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。 生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多 得多。这是这种一般现象的一个例子。被看作逻辑和计算 机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文考克于1971年 陈述的。“千年难题”之一：P（多项式算法）问题对NP （非多项式算法）问题二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状 的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我 们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单 几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此 有用，不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点 变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任 何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代 数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的 部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性 ）组合“千年难题”之二：霍奇（Hodge）猜想大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可 由单连通性来刻画，他提出三维球面（四维空间中与原点 有单位距离的点的全体）的对应问题。这个问题立即变得 无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。6月3日，新华社报道，中山大学朱熹平教授和旅美数 学家、清华大学兼职教授曹怀东破解了国际数学界关注上 百年的重大难题庞加莱猜想。“千年难题”之三：庞加莱（Poincare）猜想有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊 性质，例如，2、3。这样的数称为素数；它们在纯数 学及其应用中都起着重要作用。德国数学家黎曼（ 18261866）观察到，素数的频率紧密相关于一个精 心构造的所谓黎曼蔡塔函数。著名的黎曼假设断言，方 程z（s）0的所有有意义的解都在一条直线上。这点 已经对于开始的1，500，000，000个解验证过。证明 它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许 多奥秘带来光明。“千年难题”之四：黎曼（Riemann）假设量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世 界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前， 杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理 与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨米 尔斯方程的预言已经在全世界范围内的实验室如：布罗 克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波，中所履 行的高能实验中得到证实。尽管如此，他们的既描述重 粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。在这一问 题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的 新观念。“千年难题”之五：杨米尔斯（YangMills ）存在性和质量缺口起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船， 湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家 和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解 纳维叶斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。 虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极 少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解 开隐藏在纳维叶斯托克斯方程中的奥秘。“千年难题”之六：纳维叶斯托克斯（Navier Stokes）方程的存在性与光滑性数学家总是被诸如x2y2z2那样的代数方程的所 有整数解的刻画问题着迷。事实上，正如马蒂雅谢维奇 指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般 的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一 个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通戴尔猜想认为， 有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z（s）在点s 1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z （1）等于0，那么存在无限多个有理点（解），相反， 如果z（1）不等于0，那么只存在有限多个这样的点。“千年难题”之七：贝赫（Birch）和斯维讷通 戴尔（SwinnertonDyer）猜想2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员 会选定了七个“千年大奖问题”，克雷数学研究 所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金， 克雷数学研究所“千年大奖问题”的选定，其目 的不是为了形成新世纪数学发展的新方向，而 是集中在对数学发展具有中心意义、数学家们 梦寐以求而期待解决的重大难题。数学史经典之七大千年数学难题