3.3 实对称矩阵特征值和特征向量永远可以对角化。实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。一、 实对称矩阵特征值的性质证明：设是 阶实对称矩阵， 是矩阵 的在复数 域上的任一特征值， 属于 的特征向量为两边取复数共轭得到则 ， 于是，(4.11)由于 ，对最后一式取复数转置，得到两边再右乘 ，得到所以有特征值都是实数。这样， 是实数。由 的任意性，实对称矩阵 的特征向量都是实数向量。附注：进一步地有， 实对称矩阵的属于特征值的一、 实对称矩阵特征值的性质 定理4.12 实对称矩阵 的特征值都是实数。对上面第一式两边左乘 ，的特征向量。 定理4.13 实对称矩阵的属于不同特征向量相互正交。 证明：特征值的 设 ，是实对称矩阵 的不同特征值，分别是属于特征值 ， 于是， 得到（4.12） 而于是有这样，由 得到 是正交的。，即与特征向量相互正交的线性无关组。【注】 实对称矩阵的属于不同特征值的向量 和 对应特征向量在4.1中里4中，例1矩阵是实对称矩阵， 特征值 （二重）对应特征都正交。把它们化为标准正交组。当然，彼此不正交，但可以通过 标准正交化方法为 矩阵。 把 分块为 ，也是 的属于 的定理4.14设是阶实对称矩阵, 则存在正交阵 , 使 为对角阵.下面证明对于阶实对称矩阵来说定理成立 。证明： 对矩阵的阶数用数学归纳法。 当 时, 定理结论显然成立. 假设对于所有 阶实对称矩阵来说定理成立。故不妨设 是单位向量， 设是 的一个特征值，是属于特征值 的特征 向量, 显然单位向量特征向量.第一列任意正交矩阵。记是以 为 其中则 及 与 的各列向量都正交，注意到根据归纳法假设，其中为 阶实对称矩阵。 使得 对存在 阶正交矩阵所以并且令 ，则均为 阶正交矩阵，这表明阶实对称矩阵定理结论成立。为对角矩阵。 根据数学归纳法原理，对任意对每个 ,其中 为 重的，二、 实对称矩阵对角化方法具体步骤如下:根据定理4.14，任意一个实对称矩阵都可以对角化。求出 的所有特征值,第一步对给定实对称矩阵 ， 解特征方程，设 的所有不同的特征值为； 第二步解齐次线性方程组求出它的一个基础解系 ；得到正交向量组 ， 第三步 利用施米特正交化方法，把 正交化，再把 单位化，得到一个标准正交组 ， ；注意：它们都是属于的线性无关特征向量！且第四步令 ， 则是正交阵,为对角阵，与 中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应。 附注： 矩阵主对角线元素（特征值！）排列顺序（实对称矩阵A 的标准形！）在不计排列顺序情况下，这种对角化形式是唯一的。例2 对矩阵求一正交阵 ,使成对角矩阵。 的特征多项式为解：矩阵解特征方程得特征值 （二重）， 。即求解对于 ，解齐次线性方程组得到一个基础解系 ， 。 对于 ， 即求解解齐次线性方程组 ，得到一个基础解系 。把 正交化：得到将单位化，构造矩阵 的属于0的特征向量为。则为正交矩阵，并且使得矩阵对角化为 ：，求矩阵 。例3设三阶实对称矩阵的特征值为 ，（二重），而解： 因三阶实对称矩阵必可对角化，本题中对应于二重 特征值1的线性无关向量 应有两个特征向量组成， 设为。根据定理4.13,它们都与 正交，故 是齐次线性方程组的基础解系，所以，可取 （彼此正交）将它们单位化：则 ，是正交组， 构造矩阵 则 为正交矩阵，对角化为 ： 并且使得矩阵于是