6-1 组合变形与叠加原理6-3 斜弯曲6-5 扭转与弯曲的组合6-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合6-4 偏心拉伸（压缩）.截面核心6-1 组合变形与叠加原理基本变形轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；构件在外载的作用下，同时发生两种或两种以上基本变形。组合变形：构件只发生一种变形；MF2 F1zx yFF水坝qPhg1、研究方法：将复杂变形分解成基本变形；独立计算每一基本变形的各自的内力、应力、应变、位移。叠加形成构件在组合变形下的内力、应力、应变、位移。组合变形分析叠加 组合变形基本变形分解在小变形条件下，组合变形构件的内力，应力，变形等力学 响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响应的 叠加;2、叠加原理：如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，且与各单独受力的加载次序无关。叠加原理的适用条件杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响；即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变形 或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很小可 以忽略）；线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律；必须是小变形，保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与 叠加计算，且能保证与加载次序无关。组合变形下杆件应力的计算，将以各种基本变形的应 力及叠加法为基础。叠加法的主要步骤为：1）将组合变形按基本变形的加载条件或相应内力分量分解为几种基本变形；2）根据各基本变形情况下的内力分布，确定可能危险面；3）根据危险面上相应内力分量画出应力分布图，由此找出可能的危险点；根据叠加原理，得出危险点应力状态；4）根据构件的材料选取强度理论，由危险点的应力状态，写出构件在组合变形情况下的强度条件，进而进行强度计算。一、受力特点杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力二、变形特点6-2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合F FF1 产生弯曲变形F2 产生拉伸变形F Fy yF Fx xFy 产生弯曲变形Fx 产生拉伸变形F F1 1F F2 2F F2 2示例1示例2三、内力分析x xy y0z zMMz zF FN N横截面上内力2.弯曲 1.拉(压) :轴力 FN （axial force）弯矩 Mz （bending moment）剪力Fs（shear force）因为为剪力Fs引起的切应应力较较小,故一般不考虑虑. F FS S横截面上任意一点 （ z, y） 处的正应 力计算公式为四、应力分析1.拉伸正应力（Axial normal stress）2.弯曲正应力（Bending normal stress）x xy y0z zMMz zF FN N( ( z,yz,y) )轴力（axial force）所以跨中截面是杆的危险截面F F1 1F2F F2 2l l/2/2l l/2/23.危险截面的确定作内力图弯矩（bending moment）xxFN图M图F2F1l l/4拉伸正应力最大弯曲正应力杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为4.计算危险点的应力F F1 1 F F2 2F F2 2l l/2/2l l/2/2-当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立 杆件的抗拉和抗压强度条件.五、强度条件由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件为 :例6.1 图a所示起重机的最大吊重F=12kN，许用应力 ，试为横梁AB选择合适的工字钢。解：根据横梁AB的受力图，由 平衡方程可得：做弯矩图和轴力图，危险截面 为C点左侧截面。注意：求工字钢截面几何尺 寸时，因为A、W不可能同时 获得，所以不能同时考虑弯 矩与轴力条件，可先按弯曲 强度条件试算，再按弯压组 合进行强度校核。查型钢表，可选用16号钢， ， 按弯压组合强度条件，可知C点左侧截面下边缘各点压应 力最大：说明所选工字钢合适。按弯曲强度条件可得：例6.2 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示， 材料的许用拉应力t30MPa，许用压应力c 120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。解：（1）计算横截面的形心、面积、惯性矩（2）立柱横截面的内力（3）立柱横截面的最大应力（2）立柱横截面的内力（4）求压力F外力作用在纵向对称面内，且过形心；平面弯曲：或外力过形心，且与形心主轴方向重合；梁的轴线为形心主惯性面内的一条平面曲线。斜弯曲斜弯曲：外力过形心，但不与形心主轴重合。zyF研究方法：平面弯曲分解变形后,梁轴线不在外力作用面内。63 斜弯曲zyFxz平面内的平面弯曲xy平面内的平面弯曲斜弯曲平面弯曲分解zyzy已知：矩形截面梁截面宽度已知：矩形截面梁截面宽度b b、高度高度h h、长度、长度l l，外载荷外载荷F F，与主惯轴与主惯轴y y成夹角成夹角 。求：危险截面上的最大正应力求：危险截面上的最大正应力zyxF zyF 1、斜弯曲分解zyx FzFyF2、分别作各自平面弯曲的内力图，确定危险面zyx FzFyMzMyFyL=FLcos FzL=FLsin 危险截面：固定端截面3、分析应力分布规律，确定危险点zyF 中性轴Mz中性轴My危险点位置：右上角角点处4、提取危险点处应力状态zyF 单向应力状态5、中性轴的位置zy +-+-+-+ (z,y)中性轴上正应力为零；zyF 中性轴拉压中性轴的位置过截面形心、位于2、4象 限的一条斜线6、正应力的分布规律中性轴tmaxcmaxx（2）一般情况下，即中性轴并不垂直于外力作用面。（1）中性轴只与外力倾角及截面的几何形状与 尺寸有关；讨论zyF 中性轴拉压（3）当截面为圆形、正方形、正三角形或正多边形时，所有通过形心的轴均为主轴，且惯性矩相等;中性轴垂直于外力作用面;讨论即外力无论作用在哪个纵向平面内，产生的均为平面弯曲。zyF 中性轴7、斜弯曲梁的位移叠加法yF 总挠度：大小为：设总挠度与y轴夹角为 ：一般情况下，挠曲线平面与荷载作用面不重合，是斜弯曲，而不是平面弯曲。中性轴当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时 ，将引起偏心拉伸或偏 心压缩。以横截面具有 两对称轴的等直杆承受 偏心拉力为例，说明偏 心拉伸（压缩）杆件的 强度计算。6-4 偏心拉伸（压缩） 截面核心将偏心拉力F向轴线简化，得到与轴线重合的拉力 F和力偶矩My、MzFxy zFMyMzxy zF My偏心拉伸是拉伸与弯曲的组合变形。按叠加原理求解。任一横截面n-n上任意点C的正应力由三种内力产生：由可得要求最大应力，应先确定中性轴的位置。令中性 轴上各点的坐标为y0,z0 , 由于中性轴上各点的应力等 于零，则有：中性轴方程可见中性轴是一条不通过截面形心的直线。若中性轴在y、z轴上的截距分别为ay、az，代 入上式令z0 0，相应的y0即为ay ，同理可得az ：中性轴yzay、az分别与yF,zF符号相反，即中性轴与外力作用点 分别位于截面形心的两侧。对于周边无棱角的截面，可 作两条与中性轴平行的直线与截面周边相切，两切点D1 、D2即为离中性轴最远的点，就可求得最大拉应力和最 大压应力。对于周边具有棱角 的截面，其危险点必定 在截面的棱角处，可根 据变形来确定。D1D2（偏心拉、压问题的）截面核心：当压力作用在此区域内时，中性轴不穿过横截面，横截面上无拉应力。yzayaz中性轴截面核心LaABCF研究对象 圆截面杆受力特点 杆件同时承受转矩和横向力作用变形特点 发生扭转和弯曲两种基本变形6-56-5 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合一、 内力分析 设一直径为d 的等直圆杆AB, B端具有与AB成直角的刚臂. 研究AB 杆的内力.将力 F 向 AB 杆右端截面的形 心B简化得横向力 F （引起平面弯曲）力偶矩 M= Fa （引起扭转）AB 杆为弯曲与扭转局面组合变形BA AFMxlaABCF F画内力图确定危险截面固定端A截面为危险截面AA FMMFlA截面 C3C4T C3C4 C2C1二、应力分析危险截面上的危险点为C1 和 C2 点最大扭转切应力发生在截面周边 上的各点处. C2C1危险截面上的最大弯曲正应力 发生在C1 、C2 处对于许用拉压应力相等的塑性材 料制成的杆,这两点的危险程度是相同 的.可取任意点C1 来研究.C1 点处于平面应力状态, 该 点的单元体如图示C C1 三、强度分析1.主应力计算C12.相当应力计算第三强度理论,计算相当力第四强度理论,计算相当应力3.强度校核该公式适用于图示的平面应力状态. 是危险点的正应力, 是 危险点的切应力.且横截面不限于圆形截面 讨讨 论论C C1 该公式适用于弯扭组合变形;拉（压）与扭转的组合变形;以 及拉（压）扭转与弯曲的组合变形（1 1）弯扭组合变形时,相应的相当应力表达式可改写为（2）对于圆形截面杆有C C1 式中W为杆的抗弯截面系数.M,T分别为危险截面的弯矩和扭 矩. 以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆.例3 图示空心圆杆，内径d=24mm，外径D=30mm，P1=600N，=100MPa，试用第三强度理论校核此杆的强度。外力分析：弯扭组合变形80 P2zyxP1150200100ABCD150200100ABCDP1MxzxyP2yP2zMx解：内力分析：危险面内力为：应力分析：应力分析：安全(Nm)MyxMz(Nm)xMn(Nm)xM(Nm)71.3x71.25407.05 1205.540.6本章总结1解决组合变形强度问题的基本方法是叠加法。叠加法的依 据是叠加原理，要明确它的应用条件：（1）线弹性材料，加 载在弹性范围内，即服从胡克定律；（2）小变形，保证内力 与诸外载荷加载次序无关。正确步骤：外力简化，绘力学简图 内力分析，确定危险截面 应力分析，确定危险点 分析危险点应力状态，强度计算2要会解决工程上常见的组合变形强度问题：（1）两个相互 垂直平面内平面弯曲的组合；（2）拉伸（或压缩）与弯曲的 组合；（3）弯曲与扭转的组合（圆轴或矩形截面轴）。