3.5 数值解实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些 性质。但是，只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是 没有解析解的。常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛 的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解。本章讨论常微分方程的数值解法对于一个常微分方程：通常会有无穷个解。如：因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出，如下面的初值问题：为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件：常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函数进行运算 。因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似，而是求解函数在某些 节点的近似值。例：我们对区间做等距分割：设解函数在节点的近似为由数值微分公式，我们有，则：向前差商公式可以看到，给出初值，就可以用上式求出所有的基本步骤如下： 解差分方程，求出格点函数 对区间作分割：求 在 上的近似值 。称为分割上的格点函数 由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足：A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容数值方法，主要研究步骤，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性质。这种方法 ，称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上，求未知函数y在这些 点上的值的近似。我们的目的，就是求这个格点函数为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论： 步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题得真解；即收敛性问题 误差估计 产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会无限制扩大；稳定性问题8.1 Euler公式做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。1、向前差商公式所以，可以构造差分方程称为局部截断误差。 显然，这个误差在逐 步计算过程中会传播 ，积累。因此还要估 计这种积累定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑 的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。定义 若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。记为2、收敛性考察局部误差的传播和积累称为整体截断误差是1阶方法3、稳定性误差在以后各步的计算中不会无限制扩大。是格式对舍入误差的抑止作用我们考虑一种简单情况，即仅初值有误差，而其他计算步骤无误差。设是初值有误差后的计算值，则所以，我们有：可以看出，向前差商公式关于初值是稳定的。当初始误差充分小，以后各步的误差 也充分小4、向后差商公式是隐格式，要迭代求解可以由向前差商公式求出5、中心差商公式是多步，2阶格式，该格式不稳定6、梯形法基于数值积分的公式对微分方程做积分，则：类似，可以算出其误差估计式：2阶的方法所以，有格式为：是个隐式的方法，要用迭代法求解局部截断误差8.2 RungeKutta法由Taylor展开记为所以，可以构造格式这种格式使用到了各阶偏导数，使用不便。从另一个角度看，取(x,y)及其附近的点做线性组合，表示F，问题就好办了。当然，要求此时的展开精 度相同。这种方法称为RungeKutta法在(x,y)处展开，比较以2阶为例，设有：1、改进的Euler公式2、Heun公式一般的RungeKutta法构造常见的为3阶，4阶公式8.3 线性多步法用若干节点处的 y 及 y 值的线性组合来近似 y(xn+1)。).(.110111101knknnnknknnnffffhyyyy+=aaa其通式可写为：当 10 时，为隐式公 式; 1=0 则为显式公式 。 基于数值积分的构造法将 在 上积分，得到只要近似地算出右边的积分 ，则可通 过 近似y(xn+1) 。而选用不同近似式 Ik，可得到不同的计算公式。若积分用节点作为积分点，则有积分系数这是显格式，q+1阶r+1步格式。r=maxp,q为积分节点，可以构造r+1步q+1阶隐格式局部截断误差同样，若以例：建立p=1,q=2的显格式p=1，q=2，显格式，积分区间为积分节点为所以例：建立p=2,q=2的隐格式p=2，q=2，隐格式，积分区间为积分节点为所以它的截断误差较 显格式 小，通常也具有更好的稳定性。 Adams公式 p=0 时候的多步法参见书8.4 方程组和高阶方程的数值解法写成向量的形式：各种方法都可以直接运用过来。Euler公式以两个方程的方程组为例Runge-Kutta公式1、2、确定方法，然后求解（0.20276 0.0881157） （0.213007 0.0934037） （0.223763 0.0988499） （0.235052 0.104437） （0.246902 0.110146）4阶Runge-Kutta法，h=1高阶方程则有：令例：考察初值问题 在区间0, 0.5上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5精确解改进欧拉法 欧拉隐式欧拉显式 节点 xi1.0000 2.00004.0000 8.00001.6000101 3.2000101 1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.76561041.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.76561011.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107What is wrong ?!8.5 差分方程的绝对稳定性对于一般的差分方程由初始误差产生了差分解的误差，实际上是同一差分方程，取不同初值所得到的2组 差分解之间的差。这个差不仅于差分方程本身有关，而且与微分方程本身有关。如果 微分方程本身是不稳定，那就没理由要求这2组解充分接近。因此，差分方程的稳定性 概念是建立在微分方程稳定的基础上的。把这个典型微分方程规定为：仍然考虑最简单的模型，即只有初值产生误差，看看这个误差的传播。差分方程运用到如上的微分方程后，可以得到对于给定的初始误差，误差方程具有一样的形式定义：差分方程称为绝对稳定的，若差分方程作用到微分方程时，对任意的初值，总存在左半复平面上的一个区域，当 在这个区域时，差分 方程的解趋于0。这个区域称为稳定区域例：向后Euler公式的稳定性误差方程：210ReImg考察隐式欧拉法可见绝对稳定区域为：210ReImg注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法 的好。3阶RungeKutta显式 1 4 阶方法的绝对稳定区域为k=1k=2k=3k=4-1-2-3-123ReImg