5-1 有限元法及其发展简史1. 有限元法 l 定义是一种工程物理问题的数值分析方法，根据近似 分割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元 的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变 分原理，把问题化成线性代数方程组求解。l 分析指导思想化整为零，裁弯取直，以简驭繁，变难为易第五章 有限元法简介2. 发展简史1943年，Courant提出有限元法概念 1956年，Turner和Clough第一次用三角形单元离散飞机机翼，借助有限元法概念研究机翼的强度及刚度 1960年，Clough正式提出有限元法（FEM） 20世纪60年代，我国数学家冯康把FEM总结成凡是椭圆形偏微分方程都可用FEM求解 20世纪60年代以后，由于数学界的参与，FEM得到蓬勃发展，并且扩大了应用第五章 有限元法简介3. 发展方向Q 新型单元的研究Q 有限元的数学理论Q 向新领域扩展应用Q 大型通用程序的编制和设计ANSYS, NASTRAN, ABAQUSQ 开发微机用版本Q 设计自动化及优化设计（CAD, CAE, CAM）第五章 有限元法简介4. 有限元法的分类 以方程中未知数代表的意义分类u 有限元位移法：未知数为位移u 有限元力法：未知数为力u 有限元混合法：未知数为力和位移 以推导方法分类u 直接法u 变分法u 加权余数法第五章 有限元法简介5-2 有限元法分析简例图5-1 简例结构图第五章 有限元法简介由两根杆件组成的桁架，杆件的截面积都为A，弹性模量为E，长度为l1及l2，在节点处受有外力Fx1，Fy1，Fx2，Fy2，Fx3，Fy3，求各节点的位移。第五章 有限元法简介分析步骤：1. 离散结构物为有限个单元分为2个单元，第一个单元的节点编号为1和2，第二个单元的节点编号为2和3。对于第一单元，在第1、2节点处的节点力为 ，表示节点施加在单元1上的节点力。相应的位移为 。下标表示节点的编号，上标表示单元的编号。同样第二单元上节点2、3处的节点力和节点位移分别为 和图5-2 简例单元图第五章 有限元法简介图5-3 单元特性图2. 研究单元特性在单元分析中，主要是建立节 点位移分量和节点力的关系式。令u11=1，v11= u12= v12= 0，则 杆1的变形量为1cos，由材料力 学可知，杆1所受的轴向压力P引起该位移的节点1的节点力分量由杆1处于平衡，可得节点2的节点力分量第五章 有限元法简介同样，如果给定v11=1，u11= u12= v12= 0及 u12=1，u11= v11= v12= 0以及 v12=1，u11= v11= u12= 0，将会得到另外三组节点力v11=1，u11= u12= v12= 0u12=1，u11= v11= v12= 0v12=1，u11= v11= u12= 0第五章 有限元法简介第一单元的节点力和节点位移的关系若同时给定位移u11，v11， u12 ，v12，由迭加原理，可得写成矩阵形式第五章 有限元法简介采用刚度矩阵，可写成因此，就得出了单元的特性：节点力和节点位移的关系。 单元的节点力列阵 单元的刚度矩阵 单元的节点位移列阵第五章 有限元法简介同样，可得到第二单元的节点力和节点位移的关系（也可 直接将 = 90带入上一矩阵表达式，同时用 l2替代 l1）单元的特性对于单元的刚度矩阵 ，可以写成分块形式单元刚度矩阵的子矩阵 表示：当单元 e 中节点 j 取单 位位移，且其它节点位移为零时，对应于 i 节点的节点力。第五章 有限元法简介单元的节点力和节点位移的关系可写成对于单元的刚度矩阵 ，也可以写成分块形式单元的节点力和节点位移的关系可写成其中 表示 j单元 i节点的节点力， 表示 j单元 i节点的节点位移，第五章 有限元法简介3. 单元组装用节点的平衡建立外力与节点位移之间的关系 在整个结构物上的外力Fx1，Fy1，Fx2，Fy2，Fx3，Fy3在整个结构物上的节点位移，节点1 ：u1= u11， v1= v11节点3 ：u3= u23， v3= v23节点2是单元1与单元2的连接点，它们的位移是协调的，即u2= u12 = u22 ， v2 = v12 = v22 根据每一个节点的平衡列出方程节点1的x方向第五章 有限元法简介节点3的x方向节点3的y方向节点2的y方向节点1的y方向节点2的x方向第五章 有限元法简介上面6个方程可写成矩阵形式第五章 有限元法简介因此，组装后就得到了整个结构物的外力与节点位移之间的关系式。 总刚度矩阵，结构物由2个单元迭加而成，每一个单元有2个节点。因为结构物有3个节点，所以，其中每一个子矩阵将扩展为3行3列，得到第五章 有限元法简介4. 形成方程同样将扩展为3行3列，得到因此组装后的总刚度矩阵为5. 解方程求位移5-3 有限元法分析过程概述1. 结构物的离散 u 选取坐标（右手法则）u 选择合适的单元，离散结构物为有限个单元，并对单元、节点进 行编号 2. 选择单元的位移模式 f 单元内任意点的位移列矩阵N 单元形函数矩阵 单元节点位移的列矩阵第五章 有限元法简介3. 分析单元的力学特性Re= Ke eRe 单元节点力Ke 单元刚度矩阵4. 计算等效节点力5. 组装整体结构物的刚度矩阵 K K =Ke 6. 形成结构物的求解方程，并解出位移第五章 有限元法简介