第二章 控制系统的数学模 型2-1 控制系统的时域数学模型 1. 对控制系统的要求对控制系统的要求最基本的是对系统的输出c(t)在时间域中 的变化情况而提出. 最简单的理想情况如下图所示, 既当系统被 输入一个信号后, 系统输出立即以 一定的比例关系变化. 但由于实际系统具有 质量, 惯性或延迟性及其它原因, 系统的 实际输出往往为如下三种图形中的一种:前一屏的 (a)(b)(c)三图中, 为 在输入信号下的理想输 出,为实际输出. (a)图的实际输出是衰减振荡的,(b)图的实际输出是等幅振荡的,(c)图的实际输出是发散振荡的. 由上面分析可知, 对控制系统的性能要求一般可归结为: (1) 稳定, 并有一定的裕量; (2) 符合要求的瞬态响应, 即系统的瞬态质量, 也叫系统的过渡过程性能; (3) 符合要求的控制精度, 即对系统的稳态误差的要求.因此在工程上无非是对已有的控制系统分析它的稳定性, 瞬态性能和稳态误差, 或根据用户提出的稳定性, 瞬态性能和 稳态误差的定量指标设计一个满足要求的控制系统, 如下图所 示:控 制 系 统稳定性 瞬态性能 稳态误差分析设计(综合)对于分析或设计一个控制系统, 不能只满足于定性 的分析或设计, 而往往要求进行定量的分析或设计, 为此第一步的 工 作就需求出系统中各个环节的数学模型, 进而获得系统的 数 学模型. 2. 系统的数学模型控制系统的数学模型, 是描述系统内部各物理量(或变 量)之间关系的数学表达式, 时域中数学模型的基本形式是 微 分方程,而对于线性定常连续系统其最基本的时域数学模型 为 常系数线性微分方程,其一般形式可表为:下面通过一个具体的例子来说明建立数学模型的一般原则和 方法及步骤.例1. 直流电动机的数学模型直流电动机是在控制系统中常用的一种装置, 其示 意 图如下所示:直流电动机(1) 确定直流电动机的输入量和输出量上图表明, 直流电动机的激磁电流, 从而 磁场恒定不变. 电机的转速与电枢电压大小有关, 与负载力矩的大小有关. 因此输入量有两个,一个 是电枢电压, 另一个是负载力矩输出量一个, 即转速或角位 移(2) 列写原始方程式将电动机分解成二个更简单的部分, 一个是电枢回路部 分, 另一个是机械转动部分. 由基尔霍夫定律, 电枢回路部 分原始方程为:式(1)中,是当电枢旋转时产生的一个与方向相反的 感应电势. 根据力矩平衡原理, 机械转动部分的运动方程为式(2)中,是电枢电流产生的电磁转矩, 是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的转 动惯量.是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的粘 性摩擦系数.(3) 消去中间 变量从式(1)和式(2)中可 见,是中间变量, 要 消去它们, 就要找出中间变量与其它因素间的关系. 感应 电势正比于转速和激磁电流产生的磁通量 由于激磁电流是恒定的, 所以磁通量也恒定, 感应电势仅取 决于转速, 并可表示为:式(3)中,为反电势系数. 电动机产生的电磁转矩是激磁磁通和电枢电流的正比函数, 由于激磁磁通恒定, 故可表为:式(4)中,为电动机转矩系数.将式(1),(2),(3),(4) 联立得:消去中间变 量得电动机输入输出方程为:如果电动机的输出轴配有滚珠轴承并涂高效润滑油, 则粘 性摩擦系数可忽略不计, 如果电动机输出轴不带负载, 即则式(5)可 简化为:若令 :为机电时间常数,为电枢回路时间常数则式(6)可写为:有式(7)可知, 当电动机的转速稳定后,不再变化, 则, 从而,式(8)中是电动机的传递系数. 由于电动机中的电枢回路有一个储能 元件,并且转动部分有惯性, 故描写电动机的微分方程式(7)的左端必为二阶微分, 且有二个时间常数.如果电动机电枢回路中的电感很小, 即电枢回路时间常数 很小可忽略不计,则式(7) 可简化 为:二阶微分方程简化为一阶微分方程, 给数学处理带来很大 的方便, 近一步, 如电动机为小型电动机, 其转动部分的 转动惯量很小, 从而机电时间常数很小可忽略不计,则式(9)可近一步简化为即式(8), 成为代数方程例2. 电动机转速控制系统的数学模型测速发电机直流电动机激磁回路激磁电流电枢电压运算器(1)确定各环节的输入输出 方程 运算器: 如采用的运算器仅起比例放大作用, 放大倍数 为, 则测速发电机: 如采用的是小型测速发电机, 则其输入输出 方程为: 式(11)中为测速发电机的传递系数,电动机的微分方程 为式(7). (2) 消去中间变量 联立式(7),式(10),式(11), 消去中间变量则系统的微分方程为:式(12)中为系统中各环节传递系数的乘积, 称 为系统的开环放大倍数.2-2 控制系统的复数域数学模型由2-1节的叙述可知, 对于线性定常连续系统来说, 描 述其性能的基本数学模型是常系数线性微分方程, 其 一 般形式为:但从分析系统性能的方便与否这一角度衡量, 微分方程虽 是基本的数学模型, 却并不是一个使用起来最方便的数学 模型. 因为从微分方程出发分析系统的性能, 就必须求出 微分方程的解, 而对于阶数大于2的微分方程来说, 求 解并非易事. 其次, 当系统参数变化后对系统性能的影响 也很难从微分方程本身及其解中很容易地看出来, 这就对 分析系统尤其是综合系统带来很大的困难.对于解高阶微分方程的困难, 可用拉氏变换, 将微积 分运算转换为代数运算, 求出微分方程的解.从而人们设想, 能否利用拉氏变换这一工 具, 不解 微分方程, 就能知道系统的性能, 甚至当系统参数变 化 后, 也能方便地看出它对系统性能的影响呢? 这就引 出 了传递函数概念. 传递函数在古典自控理论中是一个很 重要的函数, 古典自控理论的两大分支, 根轨迹法和频 率法, 就是在传递函数的基础上建立起来的.1. 传递函数的定义和性质 例: 一RC电路如下图所示, 设在开关K闭合的瞬间时刻作为计时起点, 即t=0, 且此 时电容两端的电压为 开关K闭合后不再打开, 则在RC电路输入端加了一恒定的电压, 其幅值为RC电路的微分 方程为:令为RC电路的时间常数, 则式(13)为:对式(14)两边进行拉氏变换, 得:式(15)中, 而因为是幅值为的阶跃电压, 故代入式(16), 得:对式(17)两边进行拉氏反变 换, 得:上式中等式右边第一项是在电容两端的初始电 压由输入电压激励下的输出分量, 也叫零初始条件响应, 第二项是由初始条件激励下的输出分量, 也叫零输入 响应. 如令, 即初始条件为零, 则式(16)为把叫所举例中RC电路的传递函数, 从而RC电路可 用下面方块图表示:由上例, 可得系统(或环节)的传递函数的如下定 义:设单输入-单输出线性定常连续系统的微分方程为:当初始条件为零时, 系统输出量的拉氏变换表达式与系统 输入量的拉氏变换表达式之比, 称为该系统的传递函数, 其一般表达式为:下面给出传递函数的若干性质:1) 传递函数是两个复变量s的有理多项式之比, 且m=n即传递函数是复变量s的有理真分式函数, 具有复变函数的所有性质. 两个多项式中的所有系数均为实数. 2) 传递函数只取决于系统或环节本身的结构和参数, 而与系统或环节的输入信号的形式和大小无关.3) 传递函 数的分母称 为系统的特征多项式,如令分母 则叫系统的特征方程, 特征方程的根叫系统的极点, 也 叫传递函数的极点, n叫系统的阶数, 如令传递函数的分子求得的根叫系统的零点, 也叫传递函数的零点. 从而上式中传递函数的零点为,传递函数的极点为,而称为传递函数的根轨迹增益. 当s=0时,称为传递函数的传递系数.系统的传递函数的零点和极点以及传递系数对输 出的影响请参见教材有关内容. 传递函数本身的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应(或叫单位脉冲过渡函数)g(t), 因为,关于传递函数定义中的零初始条件作些说明. 将输入信号 作用于系统的瞬间时刻t作为时间的起点, 即t=0, 则不管输 入信号在t0期间是否客观存在, 对于系统来说, 输入信号 及其各阶导数均为零, 可用数学语言表述为:而对于系统本身来来讲, 在t0期间系统处于稳定的工作状 态, 且其稳定的工作状态为零状态, 即:在上述意义下, 认为系统满足零初始条件.2. 典型环节的传递函数一个自动控制系统, 不管其多么复杂, 总是由若干 个 元件按不同的方式根据一定的目的组合而成. 从结构和 作 用原理角度来看元件, 可以有各种各样不同的元件, 如 机 械式, 电气式, 液压式, 气动式等等. 但从描述各种元 件 的行为特征的数学模型来看元件, 不管元件的结构和作 用 原理如何千差万别, 其数学模型却有可能完全一样. 因 此 从元件的数学模型来划分元件的种类, 只有几种最基本 的 元件或称为典型环节. 复杂一些的元件, 其数学模型可 以 是几个典型环节的数学模型组合. 而一个复杂的系统的 数 学模型也无非是一些典型环节的数学模型组合而成. 因 此 从分析和综合系统的角度来看, 按数学模型来划分环节, 更能抓住事物的本质.在介绍典型环节的传递函数前, 先补充算子阻抗法.补充算子阻抗法的目的是为了便于推导所举典型 环节的物理原型的传递函数.设电阻R的输入信号是流过电阻的电流, 输出信号 是 电阻两端的电压, 如下图所示:则对其两边进行拉氏变换, 得:从而, 称R为电阻的算子阻抗.设电容C的输入信号是流过电容的电流, 输出信号是电容两端的电压, 如下图所示, 则设初始条件为零,对上式两边进行拉氏变换,得:称为电容的算子阻抗.设电感L的输入信号是流过电感的电流, 输出信号是电感两端的电压, 如下图所示, 则设初始条件为零,对上式两边进行拉氏变换,得:称Ls为电感的算子阻抗. 由式(21),(22),(23)可见都具有电阻的性质, 从而电路中电容和电感串联或并联连 接时, 就与电阻的串联或并联的运算方法一样. 1) 比例环节当右下图中的运放为理想运放 时当 输 入 电 压时, 比例环节输入和输出的波形 如右图所示:一般情况下, 比例环节 的传递函数为:式(24)中K可大于零也可小于零.2) 惯性环节(非周期环节) 右图所示电路即为惯性环节一般情况下,惯性环节的传递 函数为:当输入信 号时, 惯性环节输出的时间表达式为其图形如下图所示, 惯性环节传递系数K的物理含意是输出 稳态值与输入稳态之比, 此结论具有普 遍性. 惯性环节单位阶跃响应的变化速度为:上式表明, 在t=0时刻, 惯性环节单位阶跃响应的变 化速度, 如输出保持t=0时刻的速度不变, 则达到其 稳态值K所需的时间即为惯性环节的时间常数T, 如下图所示惯性环节的时间常数T, 也可由另一方法 求出, 令t= T, 即惯性环节单位阶跃响 应曲线在时刻T的值为:如上图所示. 3) 积分 环节 (a)理想积分 环节 其物理模型如下图所示:所谓理想积分 环节, 是指不仅运放是理想的, 而 且电路中 积分电容的漏电流为零, 即电容的漏阻无穷大, 则理想 积 分环节的传递函数为:上式中T=RC为积分时间常数. 当时, 输出为:输出曲线如下图所示, 图中, 由上式可见, 当t= T 时, 输出达到输入的幅值, 如右图 所示, 所以积分时间常数T也叫再调 时间. 一般情况下,理想积分环节的 传