第三章主要内容1.周期信号的傅里叶级数的三角函数形式和指数形式；周期信号频谱的概念及特点，函数对称性与傅立叶级数系 数的关系。 2.典型周期信号：周期矩形脉冲信号、周期三角脉冲信号、周期半波余弦信号、周期全波余弦信号频谱的特点； 3.傅立叶变换及逆变换的定义，傅立叶变换的物理意义；4.典型非周期信号的傅立叶变换5.冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换；6. 周期信号的傅立叶变换，包括正弦和余弦信号、一般周期信号；周期信号傅立叶级数的系数与单脉冲傅立叶变 换的关系； 7.傅立叶变换的基本性质，对称性、线性、奇偶虚实性、尺度变换特性、时移特性、频移特性、微分特性、积分 特性、卷积定理； 8.抽样信号的傅立叶变换9. 抽样定理。第三章主要内容第三章傅里叶变换3.1 引言3.11抽样定理3.10抽样信号的傅里叶变换3.9 周期信号的傅里叶变换3.8 卷积定理3.7 傅里叶变换的基本性质3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换3.5 典型非周期信号的傅里叶变换3.4 傅里叶变换3.3 典型周期信号的傅里叶级数3.2 周期信号的傅立叶级数分析3.1 引言信号具有时域特性和频域特性，本章讨论信号的频域特性，其目的一是掌握信号频域特性的分析，二是为系统的频域分析 方法作准备。傅立叶分析方法的建立经历了一段漫长的历史，涉及到许多人的工作和许多物理现象的研究。热的传播和扩散现象是导致傅立叶研究的实际物理背景。在当时，这一问题本身就是十分有意义的。他在研究中已经涉 及到象理论力学和天体力学这些当时在数学物理学方面最前沿 的课题了。到1807年，傅立叶已完成了关于热传理论实质部分的研究 ，并于1807年12月21日向法兰西研究院提交了他的研究成果。 在他的研究过程中，傅立叶发现在表示一个物体的温度分布时 ，成谐波关系的正弦函数是非常有用的，另外，他还断言“任 何”周期信号都可以用这样的级数来表示！虽然在这一问题上 ，他的论述是很有意义的，但是隐藏在这一问题后面的其它很 多基本概念已经被其他科学家们所发现；同时傅立叶的数学证 明也不是很完善的。后来1829年P.L.狄里克雷给出了若干精确 的条件，在这些条件下一个周期信号才可以用一个傅立叶级数 来表示，因此，傅立叶并没有对傅立叶级数的数学理论作出贡 献，然而，他确实洞察出这个级数表示法的潜在威力，并且在 很大程度上正是由于他的工作和断言，才大大激励和推动着傅 立叶级数问题的深入研究。另外，傅立叶在这一问题上的研究 成果比他的任何前驱者都大大前进了一步，这指的是他还得出了关于非周期信号的表示不是成谐波关系的正弦信 号的加权和，而是不全成谐波关系的正弦信号的加权和。和傅 立叶级数一样，傅立叶积分(或变换)仍然是分析LTI系统的最强 有力的工具之一。当时指定了四位著名的科学家和数学家来评审1807年傅立叶的论文，其中三位即S.F.拉克劳克斯、G.孟济和P.S.拉普拉 斯赞成发表傅立叶的论文，而第四位J.L.拉格朗日仍然顽固地 坚持他于50年前就已经提出过的关于拒绝接受三角级数的论点 。由于拉格朗日的强烈反对，傅立叶的论文从未公开露过面， 为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表，在经过了 几次其它的尝试后，傅立叶才把他的成果以另一种方式出现在 “热的分析理论”这本书中。这本书出版于1822年，也即比他 首次在法兰西研究院宣读他的成果时晚15年。    直到傅立叶的晚年，他才得到了某种应有的承认，但是对他来说，最有意义的称赞是他的工作已经在数学、科学和工程等如此众多的领域内产生的巨大影响。傅立叶级数和积分的分析 在很多数学问题中都留下了他的足迹。象最初在振动问题和热 传问题的研究中一样，在科学和工程领域中有大量的问题，正 弦信号(从而傅立叶级数和变换)在其中起着很重要的作用。傅 立叶级数的理论基础奠定之后，泊松、高斯等人把这一成果应 用到电学中去。虽然在电力工程中，伴随着电机制造、交流电 的产生和传输等实际问题的需要，三角函数、指数函数以及傅 立叶分析等数学工具早已得到了广泛的应用，但是在通信系统 中，普遍应用这些数学工具还经历了一段过程。因为当时要找 到简便而实用的方法来产生、传输、分离和变换各种频率的正 弦信号还有一定的难度。直到19世纪末人们才制造出用于工程实际的电容器。进入20世纪以后，谐振电路、滤波器 、正弦振荡器等系列具体问题的解决，为正弦函数与傅立 叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。从此，人们逐渐 认识到，在无线电技术的理论研究和实际应用中，采用频 域分析法较之经典的时域法 有许多突出的优点。当今傅立 叶分析法已成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具 。虽然傅立叶和他的同伴们原先的工作关注的仅是连续时间的现象，但是傅立叶分析的基本思想仍然可以推广到 离散时间的情况，并且也为离散时间LTI系统的分析提供了 极为有力的工具。傅立叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合  意义： 1.从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正 弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供 了途径。 2. 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的 响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号 同时激励下的总响应，而且每个正弦分量通过系统 后，是衰减还是增强一目了然。 3.2 周期信号的傅里叶级数分析l三角函数形式的傅里叶级数l指数函数形式的傅里叶级数l函数的对称性与傅里叶系数的关系l傅里叶有限级数与最小方均误差一、周期信号三角函数形式的傅里叶级数物理意义：周期信号可以分解为一个直流分量与 许多谐波分量之和。注意：1.        一般要单独计算；       2.若                        则只可能在它的倍频上，如                           可能有频率分量。3.      、    是n的函数，它一定不含有t。(对于一个确定的n来说,它是个常数不是t的函数)周期信号的另一种三角函数正交集表示比较几种系数的关系二、指数形式的傅立叶级数由前知由欧拉公式可得代入三角形傅氏级数中去，有：式中记而               是实数。当          为实函数时，             ，即      与 为一对共轭复数。得又有于是，可将上式写成紧凑的形式：（注意n的取值范围与 三角形傅氏级数不同）周期信号的指数型傅里叶级数:任意周期信号可分解为许多不同频率的虚指数          信号             之和，其各分量的复振幅为      。负频率的出现无物理意义，只是数学表达，同一       值正负频率分量总是共轭出现，其和才是一个频 率分量的值。两种傅氏级数的系数间的关系 周期信号的频谱（3）（1）（2）如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，绘出      及         等的变化关系，便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位 情况，这样的图就称为三角形式表示的信号的幅度频谱和相位 频谱。频谱图清晰地表征了周期信号的频域特性，从频域角度 反映了该信号携带的全部信息。振幅谱以频率(角频率)为横坐标，以各谐波振幅为纵坐标作出的图形，它直观地表示出信号所含各 谐波分量振幅的相对大小。如图所示。 图中，每条竖线代表该频率分量的振幅，称为 谱线。连接各谱线顶点的曲线称为包络线，它反 映了各分量振幅变化的情况。. . .类似地，可作出各谐波初相角与频率的线图，称为 相位谱。两者合称频谱图。一个周期信号与它的频谱（幅度频谱和相位频谱）之间存在一一对应的关系。. . .周期函数的频谱：周期信号的谱线只出现在基波频率的整数 倍的频率处。直观看出：各分量的大小， 各分量的频移， Cn周期复指数信号的频谱图2. 各（非零）分量的数目不同。3. 幅度   （     ）不同，相位    （    ）不同。不同的周期信号，其傅里叶级数的区别在于：1. 由于    不同，所以基波频率            不同，谐波频 率      也不同。例如某周期信号的傅里叶级数为单边频谱：双边幅度频谱双边相位频谱单边幅度频谱单边相位频谱双边频谱：画频谱图时注意：2. 三角型傅里叶级数必须统一用余弦函数来表示；5. 谱线只在基波的整数倍处出现。（思考：为什么？）例：某周期信号可如下表示，试画出其单边频谱和双边频谱。解:    (1) 单边频谱单边幅度频谱：单边相位频谱：双边幅度频谱：双边相位频谱：(2) 双边频谱例：已知某周期信号的单边频谱如图 所示，试写出该信号的时域表达式， 并画出其双边频谱。解:双边幅度频谱双边相位频谱双边频谱:12 8 4 周期信号频谱的特点（1）离散性 - 频谱是离散的而不是连续的， 这种频谱, 称为离散频谱。（2）谐波性 - 谱线出现在基波频率      的整数倍上。（3）收敛性 - 幅度谱的谱线幅度随着                 而逐渐衰减到零。周期信号的功率谱称为帕什瓦尔定理或功率等式   表明周期信号在时域中的 平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率 之和。周期信号能够进行傅里叶级数展开的一组充分条件 ：(1)在一周期内,信号是绝对可积的,即等于有限值.(2)在一周期内,如果有间断点存在,则间断点的数目应 是有限个.(3)在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个.狄利克雷(Dirichlet)条件三、函数的对称性与傅里叶系数的关系三种对称：偶函数 ：f (t )=f (-t)奇函数 ：f (t )= - f (-t)奇谐函数 ：半周期对称 任意周期函数有：                        周期偶函数只含直流和bn=0    Fn是实数例如:周期三角函数是偶函数Ef(t)T1/2-T1/2t周期奇函数只含正弦项Fn为虚数例如周期锯齿波是奇函数E/2-E/2T1/2 -T1/2f(t)t0奇谐函数 ：沿时间轴移半个周期， 反转后波形不变；半周期对称。T1/2-T1/20tf(t)奇谐函数的偶次谐波的系数为0，只含有奇次 谐波分量。奇谐函数FALSH32.exe例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量周期偶函数，奇谐函 数，只含基波和奇次 谐波的余弦分量周期奇函数，奇谐函 数，只含基波和奇次 次谐波的正弦分量T1/2-T1/2T1T1/2只含有正弦分量含有直流分量和余 弦分量T1/2T1f(t)t例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量类推:偶谐函数?偶谐函数f(t)的傅里叶级数中包 含直流分量和偶次谐波 的正弦分量。f(t)偶函数、偶谐函数，傅 里叶级数中，只含有（直流 ）与偶次谐波的余弦分量在偶谐函数的傅里叶级数中，只会含有（直流）与偶次 谐波的正弦、余弦分量，而不会包含奇次谐波分量。四、傅里叶有限级数如果完全逼近，则 n= ;l实际中，n=N,   N是有限整数。l如果 N愈接近 n ，则 其均方误差愈小l若用2N1项逼近，则误差函数和均方误差误差函数均方误差例如: 对称方波, 是偶函数且奇谐函数t对称方波有限项的傅里叶级数lN=1lN=3lN=5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81有限项的N越大，误差越小例如:   N=11-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81由以上可见：N越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波 形将会失真有吉伯斯现象发生吉布斯现象:当选取的傅里叶项数越多,合成波形中出现的峰起越靠近f(t)的不连续点。当 项数N很大时,峰起值趋于一个常数,约为总跳 变值的9%,并