点、 直线 、平面的位置关系练习题型总结http:/www.hebkjxx.cn/slwwz/1.(2009湖南)平行六面体ABCDA1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为 ( )A.3 B.4 C.5 D.6解析 如图所示,用列举法知符合要求的棱为BC、CD、C1D1、BB1、AA1. Chttp:/www.hebkjxx.cn/dzyx/2.(2009湖南)正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到异 面直线AB、CC1的距离相等的点的个数为 ( )A.2 B.3 C.4 D.5解析 如图所示,棱BC的中点M到异面直线AB、CC1的距离都等于棱长的一半,点D、B1到异面直线AB、CC1的距离都等于棱长,棱A1D1的中点到异面直线AB、CC1的距离都等于棱长的 倍. Chttp:/www.hebkjxx.cn/agyy/3.平面 平面 的一个充分条件是 ( )A.存在一条直线a, B.存在一条直线a, C.存在两条平行直线a,b, D.存在两条异面直线a,b, 解析 故排除A.故排除B.故排除C. Dhttp:/www.hebkjxx.cn/ampjdc/4.已知两条直线m,n,两个平面 给出下面四个命题: 其中正确命题的序号是 ( )A. B. C. D.解析 中,m,n有可能是异面直线;中,n有可能在上,都不对,故选C. Chttp:/www.hebkjxx.cn/bjllt/题型一 空间点、线、平面之间的位置关系【例1】如图所示,平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,BAD=FAB=90,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形；(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?(3)【面面垂直】设AB=BE,证明:平面ADE平面CDE. http:/www.hebkjxx.cn/bjlwz/http:/www.hebkjxx.cn/bjlpt/(1)证明 由题意知,FG=GA,FH=HD,所以 所以四边形BCHG是平行四边形. (2)解 C,D,F,E四点共面.理由如下：G是FA的中点知, 所以EFBG.由(1)知BGCH,所以EFCH,故EC,FH共面.又点D在直线FH上.所以C,D,F,E四点共面. http:/www.hebkjxx.cn/bjlzc/(3)证明 连接EC,由AB=BE, 及BAG=90知ABEG是正方形.故BGEA.由题设知FA,AD,AB两两垂直,故AD平面FABE,因此EA是ED在平面FABE内的射影，根据三垂线定理,BGED.又EDEA=E,所以BG平面ADE.由(1)知CHBG,所以CH平面ADE.由(2)知CH 平面CDE,得平面ADE平面CDE. http:/www.hebkjxx.cn/pjdc/【探究拓展】要证明四边形BCHG是平行四边形,只要证明 即可;要证明C,D,E,F共面,可通过证明四边形CDEF中至少有一组对边平行或两边的延长 线相交即可;要证明面面垂直通常转化成为证明线面垂直. http:/www.hebkjxx.cn/bc/题型二 线线、线面位置关系【例2】(2009江苏)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1DB1C.求证:(1)【线面平行】EF平面ABC;(2)【面面垂直】平面A1FD平面BB1C1C.证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EFBC.又EF 平面ABC,BC 平面ABC. 所以EF平面ABC. http:/www.hebkjxx.cn/bjljq/http:/www.hebkjxx.cn/wsbjl/(2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1面A1B1C1,BB1A1D,又A1DB1C,BB1B1C=B1, 所以A1D面BB1C1C， 又A1D 面A1FD,所以平面A1FD平面BB1C1C.【探究拓展】证明线面平行,通常用线面平行的判定定理或由面面平行证明线面平行;证明线面垂直,常用线面垂直的判定定理;在解决线线平行、线面平行的问题时,若题目中出现了中点,往往可考虑中位线来进行证明. http:/www.hebkjxx.cn/wybjl/变式训练2 (2009海南)如图所示,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)【线线垂直】求证:ACSD;(2)【二面角】若SD平面PAC,求二面角PACD的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC,若存在,求 的值;若不存在,试说明理由.http:/www.hebkjxx.cn/zxbjl/http:/www.hebkjxx.cn/ylch/(1)证明 连结BD,设AC交BD于O，由题意SOAC.在正方形ABCD中,ACBD,所以AC平面SBD,所以ACSD. (2)解 设正方形边长为a,则SD=又OD= 所以SDO=60,连结OP,由(1)知AC平面SBD，所以ACOP,且ACOD,所以POD是二面角PACD的平面角.由SD平面PAC,知SDOP,所以POD=30,即二面角PACD的大小为30. http:/www.hebkjxx.cn/bjlxz/(3)解 在棱SC上存在一点E,使BE平面PAC,由(2)可得PD= 故可在SP上取一点N，使PN=PD,过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连结BN.在BDN中,知BNPO,又由于NEPC,故平面BEN平面PAC,得BE平面PAC,由于SN:NP=2:1,故SE:EC=2:1. http:/www.hebkjxx.cn/amxpj/题型三 面面位置关系【例3】(2009天津)如图,在五面体ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE= AD.(1)【空间夹角】求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)【面面垂直】证明:平面AMD平面CDE;(3)【二面角】求二面角ACDE的余弦值. http:/www.hebkjxx.cn/bjlrj/http:/www.hebkjxx.cn/bjlgw/方法一 (1)解 由题设知,BFCE，所以CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角,设P为AD的中点,连结EP,PC.又FA平面ABCD,所以EP平面ABCD,而PC、AD都在平面ABCD内,故EPPC,EPAD.由ABAD,可得PCAD.设FA=a,则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= a,故CED=60所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60. http:/www.hebkjxx.cn/tycgw/(2)证明 因为DC=DE且M为CE的中点，所以DMCE，连结MP,则MPCE.又MPDM=M,故CE平面AMD，而CE 平面CDE,所以平面AMD平面CDE.(3)解 设Q为CD的中点,连结PQ,EQ.因为CE=DE,所以EQCD.因为PC=PD,所以PQCD,故EQP为二面角ACDE的平面角.由(1)可得,EPPQ,EQ= PQ= 于是在RtEPQ中,cosEQP= 所以二面角ACDE的余弦值为 http:/www.hebkjxx.cn/hgyxw/变式训练3 如图所示,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BECF,BCF=CEF=90,求证:【线面平行】AE平面DCF;http:/www.hebkjxx.cn/tycyz/http:/www.hebkjxx.cn/tych/证明 过点E作EGCF交CF于G,连结DG.可得四边形BCGE为矩形，又四边形ABCD为矩形，所以 从而四边形ADGE为平行四边形，故AEDG.因为AE 平面DCF,DG 平面DCF,所以AE平面DCF. 专题四：折叠问题解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的 不变量和变化量,一般情况下,线段长度是不变量,而 折痕同侧的各种关系不发生变化,折痕两侧的位置关 系将发生变化，抓住不变量是解决问题的关键.http:/www.hebkjxx.cn/bjlzmw/例1、已知等腰梯形PBCD中,(如图1),PB=3,DC=1,PD=BC= A是PB边上一点,且ADPB,现将PAD沿AD折起,使平面PAD平面ABCD(如图2).(1)【面面垂直】证明:平面PAD平面PCD;(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成两部分的体积比VPDCMA:VMACB=2:1;(3)在点M满足(2)的条件下,判断直线PD是否平行于平面AMC,并说明理由. http:/www.hebkjxx.cn/amtycylc/http:/www.hebkjxx.cn/tycgfwz/(1)证明 由题意知:CDAD,又平面PAD平面ABCD,所以CD平面PAD,又CD平面PCD,所以,平面PAD平面PCD.(2)解 由(1)知PA平面ABCD,所以平面PAB平面ABCD,在PB上取一点M，作MNAB于N，则MN平面ABCD,设MN=h,则VMABC= SABChhttp:/www.hebkjxx.cn/hgbf/要使VPDCMA:VMACB=2:1,解得h= 即M为PB的中点.(3)解 连接BD交AC于点O,因为ABCD,AB=2,CD=1,由三角形相似得BO=2OD,所以O不是BD的中点,又M为PB的中点,所以在平面PBD中,直线OM与PD相交,所以直线PD与平面AMC不平行. http:/www.hebkjxx.cn/hgxz/【考题再现】(2009山东)如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点.证明:【线面平行】直线EE1平面FCC1；http:/www.hebkjxx.cn/hgyl/(1)证明 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,取A1B1的中点F1，连接A1D,C1F1,CF1,因为AB=4,CD=2,且ABCD,所以 所以四边形A1F1CD为平行四边形，所以CF1A1D,又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点,所以EE1A1D,所以CF1EE1,又因为EE1 平面FCC1，CF1 平面FCC1,所以直线EE1平面FCC1http:/www.hebkjxx.cn/hgbfw/(2009全国)已知二面角 为60,动点P、Q分别在面 内,P到 的距离为 ,Q到 的距离为 则P、Q两点之间距离的最小值为 ( )A. B.2 C. D.4解析 如图,过P作PE 交 于E,在平面 内过点E作EFl,则PFE=60,由P到 的距离为 知PE=PF=2.同理可求平面 内的点Q到棱l的距离为4.当将二面角展开,P、Q的连线与l垂直时,P、Q两点之间http:/www.h