第二章 光纤传输的光线理论2.1 光纤传输的研究方法和思路2.2 阶跃多模光纤的数值孔径和时延差 2.3 渐变型折射率光纤光线轨迹的分析方法 2.4 波动光学基础 2.5 程函方程和射线方程 2.6 光线轨迹方程 2.7 抛物线型和双曲正割型折射率分布光纤子午光线轨迹 2.8 习题 光纤传输的分析方法光纤传输的分析方法光线线理论论 波动动理论论（经经典场论场论 ）量子理论论前提：芯径光波波长 严格的分析方法可形象地分析光线的入射、 传播轨迹、时延和光强分布可分析模式分布、包 层模、模式耦合以及光场 分布等现象导波光量子的寿命和稳定 性问题；衍射损耗的问题 等。对单模光纤不适用 适用于各种折射率分布的 单、多模光纤2.1 光纤传输的研究方法和思路4分析思路分析思路亥姆霍兹 方程射线方程波动 方程折射率分布光线轨迹边界条件波导场方程本征解 本征值传输特性 分析麦克斯韦 方程组光线理论与波动理论分析思路2.1 光纤传输的研究方法和思路数值孔径数值孔径（Numerical Aperture, NA）n0sin=n1sin1=n1cos1 定义：以突变型多模光纤的子午光线为例：2.2 阶跃多模光纤的数值孔径和时延差 数值孔径数值孔径（Numerical Aperture, NA）物理意义：物理意义：NANA表示光纤接收和传输光的能力表示光纤接收和传输光的能力，NA(或c)越大，光 纤接收光的能力越强，从光源到光纤的耦合效率耦合效率越 高。对于无损耗光纤，在c内的入射光都能在光纤中传输。NA越大， 纤芯对光能量的束缚越强，光纤抗弯曲性 能越好; 但NA越大，经光纤传输后产生的信号畸变越大，因而限制了信息传输容量限制了信息传输容量。所以要根据实际使用场合，选择适当的NA。2.2 阶跃多模光纤的数值孔径和时延差 数值孔径数值孔径（Numerical Aperture, NA）由于渐变型多模光纤渐变型多模光纤折射率分布是径向坐标r的函数，纤芯各点数值孔径数值孔径不同，所以要定义局部数值孔径NA(r)和最大数最大数值孔径值孔径NANAmaxmax 2.2 阶跃多模光纤的数值孔径和时延差 时延差时延差定义：以突变型多模光纤为例：最大入射角(=c)和最小入射角(=0)的光线之间时间延迟时间延迟差2.2 阶跃多模光纤的数值孔径和时延差 这种时间延迟差在时域产生脉冲展宽脉冲展宽，或称为信号畸变信号畸变。 由此可见，突变型多模光纤突变型多模光纤的信号畸变是由于不同入射角的光线经光纤传输后，其时间延迟时间延迟不同而产生的。时延差时延差2.2 阶跃多模光纤的数值孔径和时延差 渐变折射率光纤光线的传播轨迹渐变折射率光纤光线的传播轨迹亥姆霍兹 方程射线方程波动 方程折射率分布光线轨迹麦克斯韦 方程组程函方程渐变折射率光纤光线的传播轨迹求解思路电场与磁场的 相互转化电场强度和磁 场强度满足的 微分方程时空分离，得 到空间分量满 足的微分方程空间分量的振 幅和相位分离 ，得到相位与 折射率的关系转化到空间矢 量和折射率之 间的关系2.3 渐变型折射率光纤光线轨迹的分析方法 11关于麦克斯韦方程组关于麦克斯韦方程组2.4 波动光学基础 12有关 麦克斯韦 其人 (James Clerk Maxwell 18311879) 生平简介：生平简介：英国物理学家，1831年6月13日生于英国爱丁堡的一个地主家 庭，8岁时，母亲去世，在父亲的诱导下学习科学，16岁时进入爱丁堡大学 ，1850年转入剑桥大学研习数学，1854年以优异成绩毕业于该校三一学院数 学系，并留校任职。1856年到阿伯丁的马里沙耳学院任自然哲学教授。1860 年到伦敦任皇家学院自然哲学及天文学教授。1865年辞去教职还乡，专心治 学和著述。1871年受聘为剑桥大学的实验物理学教授，负责筹建该校的第一 所物理学实验室卡文迪许实验室，1874年建成后担任主任。1879年11月5 日在剑桥逝世，终年只有48岁。科学成就：科学成就：电磁场理论和光的电磁理论，预言了电磁波的存在，1873发表电 磁学通论。他建立了实验验证的严格理论，并重复卡文迪许的实验，他还发明了麦克斯韦电桥。运用数学统计的方法导出了分子运动的麦克斯韦速度分布律， 创立了定量色度学，负责建立起卡文迪许实验室。2.4 波动光学基础 13积分形式的麦克斯韦方程组及其物理意义电荷可以单独存在，电场是有源的磁荷不可以单独存在，磁场是无源的变化的磁场产生电场变化的电场产生磁场2.4 波动光学基础 14微分形式的麦克斯韦方程组及其物理意义电位移矢量起止于存在自由电荷的地方磁场没有起止点磁感应强度的变化会引起环形电场位移电流和传导电流一样能产生环形磁场2.4 波动光学基础 15各向同性线性介质中的物质方程：对于光纤： （1）无传导电流； （2）无自由电荷； （3）线性各向同性麦克斯韦方程组可行简化物质方程2.4 波动光学基础 16当可认为 时，可化为标量波动方程 如入射为单色波，可得2.2亥姆霍兹方程矢量波动方程和标量波动方程可得2.1矢量波动方程：2.4 波动光学基础 17亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）是一条描述电磁波的椭圆偏微分方程，以德国物理学家亥姆霍兹的名字命名。亥姆霍兹方程通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。因为它和波动方程的关系，亥姆霍兹方程出现在物理学中电磁辐射、地震学和声学研究这样的领域里的问题中。如：电磁场中的称为亥姆霍兹齐次方程，是在谐变场的情况下，E波和H波的波动方程。2.4 波动光学基础 程函方程 Eikonal equation 又称几何光学方程由亥姆霍兹（Helmholtz）方程出发可得2.3程函方程：2.5 程函方程和射线方程 射线方程（光线理论的基本方程）由程函方程出发可得2.4射线方程：2.5 程函方程和射线方程 光线轨迹方程由射线方程出发可得2.5光线轨迹方程 ：2.6 光线轨迹方程 子午光线的轨迹方程2.6 光线轨迹方程 抛物线型分布的光纤纤芯内子午射线轨迹2.6：2.7 抛物线型和双曲正割型折射率分布光纤子午光线轨迹 抛物线型折射率分布双曲正割分布的光纤纤芯内子午射线轨迹2.7：2.7 抛物线型和双曲正割型折射率分布光纤子午光线轨迹 n1234En(欧拉数）15611385双曲正割折射率分布1.一阶跃光纤，其纤芯折射率n1=1.52,包层折射率n2=1.49,试问：（a）光纤放置在空气中，光从空气入射到光纤输入端面上的最大接收角是多少？（b）光纤浸在水中（n0=1.33），光从水中入射到光纤输入端面上的最大接收角是多少？2.8 习题 2. 阶跃折射率分布光纤纤芯折射率为n1=1.45，相对折射率差 =0.004。 (a) 包层折射率的大小？ (b) 计算光纤的数值孔径NA？ (c) 光纤端面光线容许的最大入射角是多大？ (d) 计算在60km长的光纤上，子午光线的光程差所引起的最 大时延差max为多少。3.结合子午光线轨迹方程和平方律折射率分布形式推出平方 律折射率光纤中子午光线的传播轨迹，并用matlab或其他软 件画出。（选做）2.8 习题 坐标变换附录Matlab中常用三角函数注：自变量为弧度，非角度附录