电磁场与电磁波鞠秀妍课程体系电磁理论电磁基本理论电磁工程电磁场源与场 的关系电磁波在空间 传播的基本规律产生、辐射、 传播、接收 电磁干扰 电磁兼容各方面的应用l抽象看不见、摸不着l复杂时域、频域、空域、极化l要求具有较浓厚的数学功底和较强的空间想像 力l应用广泛课程特点电磁场理论的发展史l1785年法国库仑(17361806)定律l1820年丹麦奥斯特(17771851)发现电流的磁场l1820年法国安培(17751836)电流回路间作用力l1831年英国法拉第电磁感应定律变化的磁场产生电场l1873年英国麦克斯韦(18311879)位移电流时变电场产生磁场 麦氏方程组l1887年德国赫兹(18571894)实验证实麦氏方程组电磁波的存在l近代俄国的波波夫和意大利的马可尼电磁波传消息l无线电l当今电信时代“电”、“光”通信电磁应用l射线l医疗上用射线作为“手术刀”来切除肿瘤 l x 射线l医疗、飞机安检，X射线用于透视检查l紫外线l医学杀菌、防伪技术、日光灯l可见光l七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）l红外线l在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）l微波l军事雷达、导航、电子对抗l微波炉l无线电波l通信、遥感技术本章主要内容l1、矢量及其代数运算l2、圆柱坐标系和球坐标系l3、矢量场l4、标量场l5、亥姆霍兹定理1.1矢量及其代数运算l1.1.1标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为 标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够 完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、 时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量 。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁 场、力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以 表示成A=aA其中， A是矢量A的大小; a代表矢量A的方向， a=A/A其大小等于1。 一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢（ Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量（ Unit Vector）。在直角坐标系中，用单位矢量ax、ay 、az表征矢量分别沿x、y、 z轴分量的方向。 空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线 上的投影唯一地被确定，如图1-1所示。从原点指向 点P的矢量r称为位置矢量(Position Vector)，它在直角 坐标系中表示为 r=axX+ayY+azZ图1-1 直角坐标系中一点的投影 X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影 。任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其 三个分量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三 个分量分别是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ax 、ay、 az 可以将矢量A表示成： A=axAx+ayAy+azAz 矢量A的大小为A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2 1.1.2矢量的加法和减法矢量相加的平行四边形法则 ，矢量的加法的坐 标分量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的 结果仍是矢量 1.1.3矢量的乘积矢量的乘积包括标量积和矢量 积。 1） 标量积 任意两个矢量A与B的标量积 (Scalar Product)是一个标量， 它等于两个矢量的大小与它 们夹角的余弦之乘积，如图 1-2所示， 记为AB=AB cos 图1-2 标量积例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系 式： axay=ayaz= axaz=0axax=ayay=azaz=1 任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量表 示为AB=AxBx+AyBy+AzBz 标量积服从交换律和分配律，即AB=BA A(B+C)=AB+AC2） 矢量积任意两个矢量A与B的矢量积（Vector Product ）是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的 大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于 矢量A与B组成的平面， 如图1-3所示，记为C=AB=anAB sin an=aAaB （右手螺旋）图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋(a) 矢量积 (b) 右手螺旋矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个不 为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相 互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定 等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配 律，即 AB= -BA A(B+C)=AB+AC 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： axay=az, ayaz=ax, azax=ayaxax=ayay=azaz= 0 在直角坐标系中， 矢量的叉积还可以表示为=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)结论l矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边 形法则l任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢 量的叉积是一个矢量l如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两 个矢量必然互相垂直l如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两 个矢量必然互相平行1.2 圆柱坐标系和球坐标系l1.2.1 圆柱坐标系l空间任一点P的位置可以用圆柱坐标系中的三个变量来表示。l圆柱坐标系中也有三个相互 垂直的坐标面。l平面表示一个以z轴为轴线的半径 为 的圆柱面。平面表示一个以z为界的半平面。平面z=常数 表示一个平行于 xy平面的平面。l圆柱坐标系中的三个单位矢量为 ,分别指 向 增加的方向。三者始终保持正交关系 。（课本P4）l圆柱坐标系的位置矢量l圆柱坐标系中的单位矢量与直角坐标系的单位矢 量之间的关系：l矩阵形式：l三个坐标面的面元矢量与体积元：1.2.2球坐标系：l球坐标系中，空间任意一点P可用三个坐标变量（ )来表示。l球坐标系也有三个坐标面：表示一个半径为r的球面。坐标面 =常数，表示一个以原点为顶点、以z轴 为轴线的圆锥面。坐标面 表示一个以z轴为界的半平面。l球坐标系的位置矢量可表示为：l球坐标系中的三个单位矢量互相正交，遵守右手 螺旋法则。（课本P6）l球坐标系与直角坐标系的单位矢量的转换：l面元矢量和体积元：1.3 矢量场1.3.1矢量场的矢量线矢量场空间中任意一点P处的矢量可用一 个矢性函数A=A（P）来表示。直角坐标 中，可以表示成如下形式：l矢量线：在曲线上的每 一点处，场的矢量都位 于该点处的切线上。如 电力线，磁力线等。l矢量线方程：l直角坐标系中，其表达 式为：l 例1-2 求矢量场A=xy2ax+x2yay+zy2az的矢量线方程。解： 矢量线应满足的微分方程为 从而有 解之即得矢量方程 c1和c2是积分常数。 1.3.2矢量场的通量及散度将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向， 其大小为dS，即 n是面元法线方向的单位矢量。A与面元dS的标量积称为矢量场A穿过dS的通量将曲面S各面元上的AdS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分： 如果曲面是一个封闭曲面，则 l2、矢量场的散度哈米尔顿（Hamilton）算子为了方便，引入一个矢性微分算子： 在直角坐标系中称之为哈米尔顿算子，是一个微 分符号，同时又要当作矢量看待。算子与矢性函 数A的点积为一标量函数。在直角坐标系中，散 度的表达式可以写为结论ldivA是一标量，表示场中一点处的通量对体积 的变化率，即在该点处对一个单位体积来说所 穿出的通量，称为该点处源的强度。l它描述的是场分量沿各自方向上的变化规律。l当divA0，表示矢量场A在该点处有散发通量 的正源，称为源点； divA0,表示矢量场A在 该点处有吸收通量的负源，称为汇点； divA=0，矢量场A在该点处无源。ldivA0的场是连续的或无散的矢量场。l3、高斯散度定理l矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积 的闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分.例 :球面S上任意点的位置矢量为r=xax+yay+zaz，求 解： 根据散度定理知 而r的散度为 所以 l1.3.2矢量场的环量及旋度l1、环量的定义设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线， 定义矢量场A环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的 环量，记作矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是 描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分 量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入 矢量场旋度的概念。若环量不等于0，则在L内必然有产生这种场 的旋涡源，若环量等于0，则在L内没有旋涡 源。矢量场的环量 闭合曲线方向与面元的方向示意图 2、矢量场的旋度l1）旋度的定义设P为矢量场中的任一点，作一个包含P点的微 小面元S，其周界为l，它的正向与面元S的 法向矢量n成右手螺旋关系。当曲面S在P点 处保持以n为法矢不变的条件下，以任意方式 缩向P点，取极限若极限存在，则称矢量场A沿L正向的环量与 面积S之比为矢量场在P点处沿n方向的环量 面密度，即环量对面积的变化率。l必存在一个固定矢量R，它在任意面元方向上的投影 就给出该方向上的环量面密度，R的方向为环量面密 度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值。称 固定矢量R为矢量A的旋度。旋度为一矢量。l rotA=Rl旋度矢量在n方向上的投影为：l直角坐标系中旋度的表达式为：l一个矢量场的旋度表示该矢量场单位面积上的 环量，描述的是场分量沿着与它相垂直的方向 上的变化规律。l若旋度不等于0，则称该矢量场是有旋的，若 旋度等于0，则称此矢量场是无旋的或保守的l旋度的一个重要性质：任意矢量旋度的散度恒等于零， 即 ( A)0 如果有一个矢量场B的散度等于零，则该 矢量B就可以用另一个矢量A的旋度来表 示，即当 B=0 则有B= Al3、斯托克斯定理矢量分析中另一个重要定理是 称之为斯托克斯定理，其中S是闭合路径l所围成的 面积，它的方向与l的方向成右手螺旋关系。该式表 明：矢量场A的旋度沿曲面S法向分量的面积分等于 该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分。 例：已知一矢量场F=axxy- ayzx, 试求： （1） 该矢量场的旋度; （2） 该矢量沿半径为3的 四分之一圆盘的线积分 ， 如图所示， 验证斯托 克斯定理。 四分之一圆盘例： 求矢量A=-yax+xay+caz(c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2, z=0的环量(见图 1-6)。 解： 由于在曲线l上z=0，所以dz=0。 例:求矢量场A=x(z-y)ax+y(x-z)ay+z(y-x)az在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ax+6ay+3az方向的环量面密度。解： 矢量场A的旋度 在点M(1，0，1)处的旋度 n方向的单位矢量 在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度 1.4 标量场l一个仅用大小就可以完整表征的场称为标量场l 等值面l 方向导数l 梯度l 梯度的积分l1、等值面l为考察标量场的空间分布，引入等值面的概念。一个标量场可 以用一个标量函数来表示。例如，标量 是场中点 的单值函数，它可表示为l而 是坐标变量的连续可微函数，令l随着C的取值不同，得到一组曲面。在每一个曲 面上的各点，虽然坐标值不同，但函数值均为C 。这样的曲面称为标量场u的等值面。例如