线性规划在工商管理中的应用n1 人力资源分配的问题n2 生产计划的问题n3 套裁下料问题n4 投资问题14.1 人力资源分配问题例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?24.1 人力资源分配问题解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 60x1 + x2 70x2 + x3 60x3 + x4 50x4 + x5 20x5 + x6 30x1,x2,x3,x4,x5,x6 034.1 人力资源分配问题例2一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统 计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人 员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。 问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使 配备的售货人员的人数最少？44.1 人力资源分配问题解：设 xi ( i = 1,2,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 054.2 生产计划问题例3某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该 公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装 配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自 行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多 少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作 各应多少件？64.2 生产计划问题解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和产品甲全部自制的利润 =23-(3+2+3)=15产品甲铸造外协，其余自制的利润 =23-(5+2+3)=13产品乙全部自制的利润 =18-(5+1+2)=10产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9产品丙的利润 =16-(4+3+2)=7可得xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为15、10、7、13、9 元。74.2 生产计划问题通过以上分析,可建立如下的数学模型:目标函数： Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： 5x1 + 10x2 + 7x3 80006x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 120003x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000x1,x2,x3,x4,x5 084.3 套材下料问题例5某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？94.3 套材下料问题设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 1002x3 + 2x4 + x5 1003x1 + x2 + 2x3 + 3x5 100x1,x2,x3,x4,x5 0104.4 投资问题 例8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。 已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收 回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年 末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目 C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大 投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末 能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如表：问： a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的 本利金额为最大？ b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的 本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？项目ABCD 风险指数（次/万元）1345.5114.4 投资问题解： 1）确定决策变量：连续投资问题设 xij ( i = 15，j = 14)表示第 i 年初投资于 A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建 立如下的决策变量：A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42C x33 D x24124.4 投资问题2）约束条件： 第一年：x11+ x12 = 200； 第二年：x21 + x22+ x24 = 1.1x11； 第三年：x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； 第四年：x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； 第五年：x51 = 1.1x41+ 1.25x32；B、C、D的投资限制：xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 134.4 投资问题3）目标函数及模型： a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200x21 + x22+ x24 = 1.1x11；x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；x51 = 1.1x41+ 1.25x32；xi2 30 ( i =1、2、3、4 )x33 80x24 100 xij 0 ( i = 1-5；j = 1-4） 144.4 投资问题b)所设变量与问题a相同，目标函数为风险最小，有 Min f =x11+x21+x31+x41+x51+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 在问题a的约束条件中加上“第五年末拥有资金本利在330万元”的条件，于是模型如下：Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 = 200x21 + x22+ x24 = 1.1x11；x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；x51 = 1.1x41+ 1.25x32；xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 330xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）15