8.1 不定积分的概念和基本积分公式u原函数和不定积分u基本积分公式表u不定积分的线性运算法则 第八章 不定积分例定义1：一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1) 原函数是否唯一？例（ 为任意常数）(2) 若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：（1）若 ，则对于任意常数 ，（2）若 和 都是 的原函数，则（ 为任意常数）证（ 为任意常数）根据定义，如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则其中 C 是任意常数，称为积分常数。二、不定积分定义2 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量不定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量。例1例2例3解：-1 O 1 xyy=x2 函数f(x)的原函数的图 形称为f(x)的积分曲线。C1 y=x2+C1 C2 y=x2+C2 C3 y=x2+C3 函数f(x)的积分曲线也 有无限多条。函数f(x)的不 定积分表示f(x)的一簇积分 曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。三、不定积分的几何意义例4求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f (x) 2x， 即f(x)是2x 的一个原函数。因为所求曲线通过点(1, 3)， 故 31C，C2。 于是所求曲线方程为 yx22。-2 -1 O 1 2 x-2 -1 1 2 yyx2+2 yx2(1, 3) 所以y=f(x)x2C。实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式.四、 基本积分公式基 本 积 分 表是常数);说明：简写为例 求积分解根据积分公式（2）例1例2例3例4例5例6例7例8例9例10例11例12解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以已知当 x0 时，y1000，例13某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。因此有 C =1000，证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）五 、 不定积分的性质例14 求积分解说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.解所求曲线方程为基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系小结作业： P181：1,2,3,4,5(1) (16).思考题符号函数在 内是否存在原函数？为什么 ？