徐州师范大学物理与电子工程学院第二章 连续时间系统的时域分析Time Domain Analysis for Continuous-time System徐州师范大学物理与电子工程学院本章要点1、系统方程的建立与求解 2、系统零输入响应与零状态响应的求解 3、冲激响应与阶跃响应 4、卷积积分及其性质 5、利用卷积积分求系统的零状态响应徐州师范大学物理与电子工程学院系统分析的任务，由激励和系统本身，求解系统 的响应，时域分析法，变换域分析法。2.1 引 言时域分析法：经典法，卷积法一、系统的数学建模1、目的：列出系统输入，输出的方程2、方法：（1）明确e（t）和r(t) (2)根据电路系统约束条件，列出系统方程 A、电路结构的约束条件 KCL KVL B、电路元件的约束条件 （3）整理化简徐州师范大学物理与电子工程学院电阻 i(t)+- U(t)U(t)=i(t)*R电容+-电感i(t)i(t)+-电压不能突变电流不能突变徐州师范大学物理与电子工程学院i1i2L1L2+-u1+-u2+-+-i1i2L1L2互感徐州师范大学物理与电子工程学院例. 对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。解：由图列方程KCL:KVL:徐州师范大学物理与电子工程学院将（2）式两边微分，得 将（3）代入（1）得徐州师范大学物理与电子工程学院3、系统方程的一般形式n阶常系数微分方程徐州师范大学物理与电子工程学院二、系统的古典解完全解齐次通解非齐次特解1、求齐次解步骤: (1)写出微分方程的特征根（2）求出特征根 （3）写出齐次解 A各特征根各不相同徐州师范大学物理与电子工程学院B、是特征方程的k重根C、特征根为复数根2、求特解令代入e(t)求出f(t) (1)若f(t)=c, 则特解的形式为代入系统方程求出待定系数B（2）若f(t)为t的多项式，最高次为则徐州师范大学物理与电子工程学院（3）若则（4）若则（5）若则（6）若则3、方程的解4、待定系数的求解：由系统的初始条件定徐州师范大学物理与电子工程学院代入初始条件r(0), 严格定义是r(0+),若已知r(0-)要根据电路 系统的约束关系求出r(0+)解上式方程组定出从c1,c2cn徐州师范大学物理与电子工程学院三、系统响应r(t)的物理意义(1)(2)全响应自由响应受迫响应自由响应：响应只和系统本身有关，而于所加激励无关受迫响应：响应由激励函数e(t)的具体形式而定 （3）r(t)=rzi(t)+rzs(t)（4）全响应暂态响应稳态响应暂态响应：稳态响应：徐州师范大学物理与电子工程学院2.2系统方程的算子表示一、定义1、微分算子2、积分算子徐州师范大学物理与电子工程学院二、算子符号的一般运算规则。等式两边不能同 除以p徐州师范大学物理与电子工程学院三、系统方程的算子表示徐州师范大学物理与电子工程学院+-i(t)i(t)+-徐州师范大学物理与电子工程学院四、物理意义H(p) e(t)r(t)H(p)与系统本身有关 H(p)与系统方程的关系、H(p)与系统零输入响应的关系H(p) 系统函数徐州师范大学物理与电子工程学院2.3系统的零输入响应The Zero Inputs Respond of System一、物理意义H(p) e(t)0初始条件rzi(t)二、求解N个特征根B、是特征方程的k重根徐州师范大学物理与电子工程学院由系统的初始条件求由于没有激励，故响应不会突变思考：Rzi(t)是否完全等于rh(t)徐州师范大学物理与电子工程学院2.4奇异函数奇异函数是指函数本身或其导数（或积分）具有不连续 点的函数。*一、单位阶跃函数 unit step function1.定义此函数在t=0处不连续，函数值未定义。徐州师范大学物理与电子工程学院2. 物理模型 可代替电路中的开关，故又称为开关函数 。徐州师范大学物理与电子工程学院tt3.、应用 给函数的表示带来方便徐州师范大学物理与电子工程学院(a)(b)(c)徐州师范大学物理与电子工程学院例：徐州师范大学物理与电子工程学院*二 .1、定义unit impulse function徐州师范大学物理与电子工程学院或徐州师范大学物理与电子工程学院2、物理模型：打乒乓球时，球和板子接触的那一刻；锤子钉钉子电学：理想电压源接电容3、应用徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院3、应用（续）徐州师范大学物理与电子工程学院三、两者关系：单位阶跃函数，单位冲激函数徐州师范大学物理与电子工程学院单位斜变函数R(t)徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院2.5 信号的时域分解Time Domain Decompose of Signal 一、信号分解的思想 把一个复杂的信号分解成若干个简单信号的线性叠加奇异信号应用：激励是若干个简单信号的叠加，应用线性系统的叠 加性，则系统的响应是这若干个简单信号各自响应的叠加。 二、分解的方法 1、脉冲信号的分解徐州师范大学物理与电子工程学院例1.有始周期锯齿波的分解徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院2、一般信号的分解（1）f（t）分解成阶跃信号的叠加徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院（2）用冲激函数表示f（t）徐州师范大学物理与电子工程学院2.6冲激响应和阶跃响应一、冲激响应1.定义 ：当激励为单位冲激函数 时，系统的零状态响应 称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。零状态 2. 冲激响应h(t)的求解徐州师范大学物理与电子工程学院（1）nm徐州师范大学物理与电子工程学院（2）n=m徐州师范大学物理与电子工程学院(3)nm 除了含有指数项冲激函数外，还含有冲激函数的各阶导数徐州师范大学物理与电子工程学院二、阶跃响应 1.定义三、冲激响应与阶跃响应的关系徐州师范大学物理与电子工程学院证明：徐州师范大学物理与电子工程学院例：系统 求该系统的冲激响应和阶跃响应。解：徐州师范大学物理与电子工程学院2.7卷积及其性质信号分解系统响应H(p) integral and the property徐州师范大学物理与电子工程学院一、卷积定义：徐州师范大学物理与电子工程学院二、卷积的计算（图解法）徐州师范大学物理与电子工程学院0.5徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院三、常见信号的卷积公式 见课本 推导徐州师范大学物理与电子工程学院四、卷积的基本性质 见课本(1)交换律： (2)分配律： (3)结合律： (4)微分积分性：推导徐州师范大学物理与电子工程学院（6）尺度变换例：已知则（5）徐州师范大学物理与电子工程学院卷积计算方法：（1）定义（2）卷积的图解法（3）公式法：应用常见信号的卷积公式、卷积的基本性质徐州师范大学物理与电子工程学院计算卷积方法一：定义方法二：公式方法三：性质方法四：图解法徐州师范大学物理与电子工程学院例：例：已知某LTI系统，初始状态为0，输入信号在该输入下的响应为又已知输入信号为时，系统响应为，求该系统的冲激响应 。徐州师范大学物理与电子工程学院解：因为所以徐州师范大学物理与电子工程学院例: (1)已知求f(t)(2)已知求f(t)分析：(1)(2)已知徐州师范大学物理与电子工程学院例：绘出下列波形函数的卷积结果的波形*例：某LTI系统，输入激励 时零状态响应求徐州师范大学物理与电子工程学院解：徐州师范大学物理与电子工程学院徐州师范大学物理与电子工程学院解：问：徐州师范大学物理与电子工程学院总结：线性系统响应的时域求解系统方程零输入响应冲激响应无重 根零状态响应徐州师范大学物理与电子工程学院全响应零输入响应零状态响应自由响应受迫响应暂态响应稳态响应徐州师范大学物理与电子工程学院例：已知系统时，例：已知系统的冲激响应为 求: (1) 系统的转移算子 （2）求 （3）当 时，系统的全响应解：徐州师范大学物理与电子工程学院例：已知系统的微分方程为求全响应解：徐州师范大学物理与电子工程学院R1R2例：电容起始电压为0， 求输出信号解：徐州师范大学物理与电子工程学院e(t)r(t)h1(t)h1(t)h2(t)h3(t)例：求总系统的冲激响应h(t)解：徐州师范大学物理与电子工程学院例：已知某系统初始状态不为0，并且时，响应时，响应为求： 1、系统的零输入响应 2 时的响应分析：（1）（2）求此系统的响应、解方程徐州师范大学物理与电子工程学院第二章作业 2.1 2.4(1) 2.5(1) 2.7 2.8 2.10 2.15(3)(5) 2.16 2.17(d)(e) 2.20 2.23