数学建模专题讲座主 讲：张光澄 教 授模型化技术与最优化模型化技术与最优化（Mathematical Mathematical ModellingModelling Technology and Optimization) Technology and Optimization)*1讲 座 题 纲第一节 学习和掌握数学建模技术的必要性第二节 现代数学模型发展的趋势第三节 静态最优化问题综述第四节 最优化应用举例之一（线性规划）第五节 最优化应用举例之二（非线性规划）Date2第一节 必要性 （学习和掌握数学建模技术的重要意义） 从以下四个方面加以论述： 1、数学技术的观点1984年1月25日，在美国数学会（AMS）和美国工业与应用数学学会（SIAM)联合年会上，原尼 克松的国家科学顾问，现PEEED公司的总裁Edward,E.David博士在大会上宣称：“显然，很少人认识到如今被如此称颂的高技术本质上是数学 技术”。1989年，钱学森在中国数学会召开的 一个座谈会上也提出了“数学技术”这个名词。 Date3时代背景现今的社会经济结构，从世界范围来讲，将要或已经 步入知识经济的时代，知识产业的四大支柱是： 信息产业：从微型化，数字化，网络化，智能化，移 动式，交互式，参与式为其特征。 生物产业：以基因工程，蛋白质工程，细胞工程为新 的生长点。 材料产业：以纳米，仿生，智能，超强功能为目标。 绿色产业：以节能，消除污染，保护生态，美化环境 为宗旨。 以上四大产业构成21世纪知识产业的核心，它们不仅 自身成为最重要的产业，而且带动传统产业的技术改造 。 Date4知识经济的特征知识作为生产力中最重要的因素和无形资产，已经在发达国家经济产值的增值中占据重要成分，形成建立在知识和信息的生产，分配和使用基础上的知识经济。Date5（1）对所要解决的实际问题应有一个描述得非常精细的数学模型；（2）求解这个数学模型应有很好的算法和高效的数学软件（80年代以来，美国率先推出了3M 软件Math、Matlab、Maple和一些专用的软件包和仿真软件包）；（3）有相当的普适性，能解决一大类问题；（4）与实际问题有关的领域的工程，创造有密切的合作，甚至融为一体。数学技术包括如下的内涵：数学技术包括如下的内涵：Date6数学模型（含相应的算法）和与之匹配的高效的数学软件为数学技术在知识经济时代的前台表演提供了重要的平台。结论：结论：Date72、系统科学（工程）的观点模型化技术为系统分析和系统设计的实施提供了重要手段。AM(Abstract Model)System逼近抽象 ModelMM(Mamth Model)IM(Image Model)信息反馈（数值模拟、仿真）Date8M是S的一种映射（映象），M源于S但又高于S；（1）M较之于S，易于理解，易于操作；（2）M较之于S，易于改变参数；（3）S中的某些试验很难甚至不可能实现（投资大， 周期长，有危险）。但通过模型试验较易解决困难。例如：大跨度桥梁（海浪冲击试验）核反应堆（电站）（地震波冲击试验）灾变下的人体反应试验计算机模型模拟， 人体模型模拟Date9涉及系统的分解以及模型的整合技术，这就是我们称之为模型化技术对于复杂的系统S：SS1 S2SnM1（子模型1） M2 （子模型2）Group ModelMn （子模型n）对应分解Date10现代学科发展的重要特征是：学科间相互交叉，相互 渗透形成综合性的边缘学科。如管理数学，金融数学， 生物数学，计算数学，体育数学等等。现代管理的一个重要流派数理管理学派。强调应用现代计算机，通过建立数学模型的手段来分析解决现 代经济、金融、工程技术中的一些重大决策问题。二战 以来，美国 运用系统工程的理论和方法解决了工程决策 问题，如象阿波罗登工程，北极星核潜艇工程的实施都 应用了PERT (program evaluation and review technique计划评审技术）方法。在数学上，即是图论与网络理论 的具体应用;3、现代学科融合的观点Date11现代证卷和期货的发展离不开金融数学的理论 和方法（随机微分方程的理论，风险投资决策的理 论和方法）。我国两代总理基金都拨出巨款来支持 北大、复旦、山大等校研究和应用金融数学的理论 和方法。Date124、计算机应用的发展进程数 据 处 理MIS Management Information SystemDSS Decision Support SystemINS Intellect System从数值计算扩大到信息处理，数据传输，出现了很 多的非数值型算法，如：排序，查找，屏幕操作，图形 操作，菜单设计等。 值得一提的是现代网络技术的发展，使网络信息安 全技术提上了议事日程，不少的企事业网络不设防的现 象已经到了不能容忍的地步。电子签名，数据库存取控 制，工作站执行控制，服务器存取控制都需要密钥技术 ，四川大学柯召院士的传人孙琦教授利用初等数论的方 法，对密钥技术的数学理论作了创造性的工作。 Date13高产、优质、低耗、除污、节能、追求安全性、可 靠性等等。因此产量、质量、成本、工时、效益、风险 、环境、安全性均可作为优化的目标函数。第二节 现代数学模型发展的趋势1 、多目标、多变量、大存储量多目标是适应现代化大生产的要求：多目标是适应现代化大生产的要求：多变量表现为决策因素的复杂性：多变量表现为决策因素的复杂性：在组织大生产中，为了追求既定的目标，可以选择 不同的决策因素，如生产条件（温度、浓度、流量、时 间、操作方式等），生产工艺条件（原料配比、配方、 设备配置等），产品零件参数设计等。Date14多变量的选择还包括两个方面的含义：多变量的选择还包括两个方面的含义：多目标、多变量、大存储量问题对计算机和算法多目标、多变量、大存储量问题对计算机和算法一方面问题本身是一个多元（或高维）问题，这是 非线性问题的特征：大范围、大变形、大扰动、高速、 高温、高能、高精度、强力、剧变等是非线性问题通常 导致一个或多个高维数学模型；另一方面，即使有的问 题维数并不高（如三维问题）经离散化后形成多变量的 高维问题。计算代价的估计，计算精度的估计，算法的可靠性 ，稳定性的评价等。都提出了更高的要求：都提出了更高的要求：Date152、从线性到非线性的变化事物的运动和变化一般都是非线性的，但在局部范 围和平缓变化情况下，往往又可以近似地看成是线性的 ，因此线性化的数学模型一直得到广泛和充分的研究， 在十九世纪，数、理、化、力等学科都是线性的世界， 20世纪以来，科技和工程技术的迅速发展，出现了大范 围、大变形、大扰动、高速、高温、高能、高精度等涉 及非线性现象的问题，因此，非线性问题的研究已成为 当前科学和数学中研究的主题。Date163、从连续到间断、从稳定到分岔、从精确这些变化使得突变的理论，混沌的理论，模糊数学 和控制成为当今数、理、化、力等学科研究的热门。到模糊的变化总言之数学模型趋向复杂化是人们借助于计算机和计算技 术向大自然挑战的必然趋势。新兴的学科也由此而诞生 。Date17以古典变分学的形成为例，它几乎与微积分同时诞 生，但却经历了更多的磨难，1719世纪，以下四个变分 问题称为当时的四大难题： （1）捷线问题（最速降线问题）：重力作用下，平 面上质点运动轨迹。 （2）悬线问题：重力作用下，悬链线达到平衡位置 的轨线。 （3）等周问题：定长线所围成面积最大的封闭图形 。 （4）短程线问题：空间两点间最短连线。 古典变分问题导致现代控制变分方法理论和方法极值必要条件（Enler-lagrange方程 ） 求解Pontryagin 极值原理 Bellmam 最优性原理Date18第三节 最优化问题综述3.1 静态最优化（Statical optimization）Model:min f(x) x Opti f(x) f : xRn xRnmax f(x) xDate190-1 LP LP( linear programming) Dual LPparameter LP NLP(Non-linear programming ) LSP(The least programming ) DP (Dynamic programming ) MOP(Multiple objectives programming)实际背景：生产、经济、工程、管理中的优化问题 目标： 产量、质量、成本、工时、效益、风险、环 境、安全性、可靠性等等。3 3.1.1 .1.1 类型：类型：Date203 3.1.2 .1.2 研究的问题研究的问题 ：（1） 系统运用分析，即生产计划和经营决策中的优 化问题。例如：合理计划生产：运输，分配，布局，选址，指派， 下料、配料等优化问题（linear programming）;合理开发（或配置）资源：可再生资源的持续 开发，不可再生资源的优化配置（linear programming）合理运行设备：设备的最有运行（维修）方案合理组合投资：追求最大受益、最小风险的投资组 合方案（Multiobjective programming） Date21（2）工程设计和控制中的非线性分析（Non- linear programming and optimal control）。 例如：结构系统最优设计（两杆？-人字架设计）机械零件或部件的最优化设计（？轮轴颈，凸轮设计 ）化工设备最优设计（单件或连锁设备优化设计）电力网络和水力网络的优化设计（平衡条件）Date22（3）竞争理论。 即研究战争，投资，商业竞争等 问题主要内容是对策论和决策论分析。1928年Von.Neumann 证明了对策论的基本定理， 1944年Von.Neumann 和经济学家O.Morgonsterm合作发表 了专著竞争与经济行为，该书奠定了对策论的基础 。上个世纪五十年代后对策论与统计决策相结合，进一 步发展为决策分析。Date23（4）随机服务理论。 主要研究拥挤和排队问题， 主要模型有服务机制模型，顾客到达服务，排队规律， 以后又发展为存储，更性维修等问题。排队论的先驱是 丹麦数学家Erlang，他在1909年发表专著电话呼唤和 概率论为排队论在科学技术，通讯网络中的应用奠定 了基础。Date243 3.1.3 .1.3 历届数模竞赛所涉及的优化问题：历届数模竞赛所涉及的优化问题：94年 A题 逢山开路（工程设计优化问题） 目标：工程造价最低 决策：在若干约束下选择一条最佳线路95年 B题：天车调度问题（生产操作优化问题）目标：年钢产量最大决策：天车调度的最优方案设计96年 A题：最优捕鱼策略（开发资源优化问题） 目标：可持续捕捞的努力量及最大捕捞量 决策：在平衡条件下确定五年内最佳捕捞方案Date2597年 A题：零件参数设计（产品参数优化设计 ）目标：产品总造价最低（产品质量损失费 用零件制造成本费 用） 决策：零件参数的最佳水平组合方案98年 A题：组合投资问题（风险决策优化问题 ）目标（二目标）：收益最大，风险最小决策：组合投资方案99年 A题：自动化车床管理（排队-更新问题 ）目标：生产工序的效益（费用最低）最大决策：最佳检验间隔河刀具更换策略Date2699年 B题：钻井布局问题(生产计划优化问题)目标：最大限度利用初步、勘探时的旧井 数决策：在规定精度的前提下确定系统勘探 时的最佳网络分布年 A题：车灯线光源的优化设计目标：线光源的功率最小决策：在满足设计规范的条件下，计算线 光源的长度B题：彩票中的数学目标：最大限度地吸引彩民积极购买彩票决策：在保证彩民和彩票公司的利益上如 何设置最佳彩票方案Date273.1.4 3.1.4 常用方法常用方法 ：（1）