电 磁 场矢量与场论基础正交坐标系与矢量运算1、直角坐标系：x y z 单位向量： ex，ey，ez 元长度：dl = exdx + eydy + ezdz 元面积：dS = exdydz + eydzdx + ezdydz 元体积：dV = dxdydz 0.1 正交坐标系2、圆柱坐标 f z 单位向量： e，ef，ez 元长度：dl = ed + efdf + ezdz 元面积：dS = edfdz + efddz + ezddf 元体积：dV = ddfdz3、球坐标 r f q 单位向量： er，eq，ef 元长度：dl = erdr + eq rdq + ef r sinqdf 元面积：dS = err2sinqdfdq + eq rsinqdrdf + ef rdrdq 元体积：dV = r2sinqdqdfdr1、标量仅用一个数值(变量)就可以描述的物理量，如电压、电荷、电流、 高度、距离等V(x,y,z,t)、Q(x,y,z)、I(t)、H、L3、矢量运算点乘（数量积） ：2、矢量需要用二个数值(变量)描述的物理量，如电场强度、速度、电流密度、位置等是单位矢量圆柱坐标系球坐标系直角坐标系0.2、矢量运算叉乘（矢量积） ：哈密顿算符：直角坐标系中 ：圆柱坐标系中球坐标系中其他运算公式0.2 标量场和矢量场场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确 定的标量值或矢量.例如,在直角坐标下, 标量场如温度场,电位场,高度场等;矢量场如流速场,电场,涡流场等.形象描绘场分布的工具-场线矢量场-矢量线标量场-等值线(面).其方程为其方程为三维场在直角坐标下:二维场图0.1.2 矢量线图0.1.1 等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快？0.3 标量场的梯度一. 梯度设当 ,即 与 方向一致时, 为最大.设一个标量函数(x,y,z),若函数 在点P可微,则 在点P沿任意方向 的方向导数为: 梯度(gradient)则有:式中 ， ， ，分别是P点方向l与x,y,z轴的夹角式中称为哈密顿算子例1 三维高度场的梯度例2 电位场的梯度高度场的梯度 与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最大变化率； 指向地势升高的方向。电位场的梯度 与过该点的等位线垂直； 指向电位增加的方向。 数值等于该点的最大方向导数；二. 梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向. 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数;图0.2.1 三维高度场的梯度图0.2.2 电位场的梯度0.4 矢量场的通量与散度一、矢量场的通量矢量 E 沿有向曲面S 的面积分 0 (有正源) 0 (有负源) = 0 (无源)图0.3.1 矢量场的通量 图0.3.2 矢量场的通量 若S 为闭合曲面 ，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:二、矢量场的散度如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时, 通量与体积之比的极限存在，即由奥斯特罗格拉特斯基公式：散度(divergence)定义：所以通量可以看作是体积V内散度的体积分： （高斯散度定理 ）三、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； A= 0 (无源） A= 0 (负源) A= 0 (正源)四、高斯公式(散度定理)高斯公式 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。 矢量函数的面积分与体积分的互换。图0.3.3 散度定理由于 是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分后，为穿出闭合面S的通量0.5 矢量场的环量与旋度一、矢量场环量该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分环量例：流速场图0.4.2 流速场图0.4.1 环量的计算二、矢量场的旋度在直角坐标系中，设则环量可写成：由斯托克斯公式：和直角坐标下矢量积的定义：则环量可写成：1. 旋度旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为使得环量密度 取最大值时曲面元S的方向。称为旋度(curl)它与环量密度的关系为定义矢量：2. 环量密度过点P作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向 成右手螺旋法则。当S点P时,存在极限其中rotnA表示rotA在S的法线方向en上的投影，取不同的路径时，其环量密度也不同。称为环量密度旋度与环量的关系：三、旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)； 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。四、斯托克斯(Stockes)定理AdSi 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为Stockes定理在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。 矢量函数的线积分与面积分的互换。 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。图 0.4.3 斯托克斯定理0.6 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电荷密度电流密度J场域边界条件（矢量A唯一地确定）例：判断矢量场的性质=0 =0=00 0=00.7 三种特殊形式的场1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(r,)，则称这个场为轴对称场。3,球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即 F=f(r)，则称这个场为球面对称场。作业 .2.3.式中：试证明下列各题1.