系统建模与响应机械系统建模 机械系统等效模型 机械系统建模实例第五章 典型机械系统的建模机械系统遍及工程技术和社会各个领域，除机械设备与 装置外，还是构成其他复杂系统的基础和基本环节，如控制 系统地执行机构、飞机舵面传动装置、导弹发射架、飞行模 拟器的运动平台等。 这些系统建模目标多是建立选定参考坐 标系下的系统运动方程和动力学方程，属于“白箱”问题。因 此，采用的建模方法不外乎是机理分析法或图解法，对复杂 的机械系统还可能应用辨识方法。在建模中，主要将利用牛顿力学定律、拉格朗日函数， 并结合能量守恒原理及有关近似理论等。针对特殊的机械系统 机器人，其运动学及动力学分析 的数学建模和仿真与传统的机械动态特性研究因其多运动自 由度特点，多体动力学理论基础在机器人运动动力学分析中 特别适用。机械系统建模方法v创建等效电路相似系统v应用牛顿定律直接建模v能量守恒法v拉格朗日方程（多自由度系统）相似系统二、基于力学理论的机械系统建模v空间任意力系的平衡方程v由理论力学可知，空间任意力系平衡的必要和充分条件是： 力系中所有各力在三坐标轴中每一轴上的投影和分别等于零 ，又这些力对于这些轴的力矩的代数和也分别等于零。其数 学表达式为：二、基于力学理论的机械系统建模 牛顿第二定律告诉 我们，物体受外力 作用时，所获得的 加速度大小与合力 大小成正比，与物 体的质量成反比， 加速度的方向与合 外力的方向相同。 其数学表达式为：应用牛顿定律建模v弹簧质量系统v弹簧质量阻尼系统弹簧质量系统v数学模型建立过程如下：v注意：消除mg项简化了数学模型，因此质量的位移 都从平衡位置开始度量。弹簧质量系统的自然响应v该系统初始时刻拉下物体，将产生自由振动，可按 上述数学模型分析出该特性，因此数学模型只有代 表了物理系统的特征才有意义。v由该数学模型表现出的自由振动的特征推导如下：v该系统的数学模型为：v表现的特征可由x(t)描述。v拉氏变换求解x(t)：弹簧质量系统的自然响应弹簧质量系统：简谐振动系统v该系统的数学模型可看出为简谐振动系统。v初始条件为：速度0；位移为x0v该系统数学模型为：v周期为：v频率为： 固有频率为：v数学模型总结为：Simulink仿真v假设系统m=1,k=1,v初值x(0)=1，x(0)=0;数学模型的作用示例v弹簧质量系统的数学模型可看出其是一简 谐振动系统，且定义了各种参数。v利用该数学模型可以为其他系统进行类似分 析，如机械转动系统。v如图所示的机械转动系统，该系统是扭簧 惯量系统，系统的数学模型及特性应同弹簧 质量系统类似。数学模型的作用示例v从而可通过时间的测定而计算出系统的转动 惯量。弹簧质量阻尼系统v建立系统数学模型：v带入具体参数值后求解微分方程：弹簧质量阻尼系统v其响应曲线如图：v该系统为一欠阻尼正旋 振动系统。由于阻尼存 在振动随时间变小。欠阻尼：阻尼很小，振 动可以发生；过阻尼：阻尼很大，振 动将不发生。能量法v力可以做功，做功就具有能量。v功力与力作用距离的乘积或力矩与角 位移的乘积；v能量： 储存能量：形式为势能与动能v势能因位置而具有的能量v动能因速度而具有的能量 消耗能量能量公式v势能U：质量和弹性元件可储存势能。质量体m弹簧体扭转弹簧v弹簧中储存的势能与弹簧受拉或压无关。能量公式v动能T：质量体可储存动能。直动转动能量公式v消耗能量：阻尼元件。v功率：做功的速率。推导运动方程的能量法v理论基础能量守恒。不消耗能量的系统称为守恒系统。如：摩擦，阻尼v总能量的变化外力对系统做的功：v如果没有外部能量的输入，则：能量法示例1v设该系统无摩擦，则为守恒 系统。v应用能量法推导数学模型：能量法示例2v该系统无阻尼，为守恒系统。v应用能量法推导数学模型：v平衡位置的势能为：v瞬时势能为：能量法示例2v系统总能量为：如右图表示一个半径为R、质量为m的均质圆柱体，它可以 绕其转轴自由转动并通过一个弹簧与墙壁连接。假设圆柱体 纯滚动而无滑动，求系统的动能和势能并导出系统运动方程 。圆柱体的动能等于质心移动动能和绕质心转动的动能之和。系统由于弹簧变形所产生的势能为系统总能量为能量法示例3考虑到圆柱体做无滑动的滚动，因此， 。并且注意到转动惯量 J 等于 ，我们得到考虑到能量守恒定律，总能量为常数，即总能量导数为零， 得到注意到， 并不总为0，因此 必须恒等于0，即如果将以上方程转为转动运动，只要把 代入得到拉格朗日方程（多自由度系统）将 作为n个自由度系统的一套广义坐标，系统的运 动由n个微分方程表示，其中广义坐标是因变量，时间为自变量。令 作为系统在任意瞬时的势能；令 作为系统在同瞬时的动能； 拉格朗日函数 定义为设广义坐标是独立的，令 是广义坐标的变分， 非保守力（外力和摩擦力等）在广义坐标上的虚功可以写成拉格朗日方程为拉格朗日方程的三种情形拉氏方程的三种形式：(1 ) 第二类拉格朗日方程（原始式 ）（2） 主动力系是保守力系情形（3）主动力系是部分保守力部分非保 守力情形例:系统如图所示，运用拉格朗日方程建立该系统的数学模型。解: 选择y1，y2为广义坐标系，其系统动能和势能分别为某行星滚动机构中有一质量为m，半径为 r 的实心圆柱在半径为 R，质量为M的圆筒内无滑动地滚动。已知圆柱和圆筒对轴心O的转 动惯量分别为 ，建立圆筒绕其轴心转动时，该系统运动 数学模型。分析：该系统为两自由度系统。取广义坐标分别为圆筒转角 和圆柱轴心偏离角 。由于圆柱与圆筒间的运动是无滑动纯滚动， 故在接触点A处它们具有相同的线速度： 。系统动能T为圆柱滚动和圆筒转动所具有的动能系统的动力为重力，圆筒的势能等于零。则系统的势能为于是有拉格朗日函数代入拉格朗日方程有即为该行星滚动机构的运动数学模型。用拉格朗日方程建立图示系统运 动的微分方程，用1、2和x作为广 义坐标，以矩阵的形式写出微分方 程。解：系统在任意时刻的动能为系统在同一时刻的势能为拉格朗日函数为利用拉格朗日方程可得机械系统等效模型v作用在机械上的力及机械运转过程v机械的等效力学模型v机械运动方程式的建立及求解工作阻力驱动力作用在机械上的力机械运转过程及特征阶段速度特征能量特征启 动原动件的速度从零逐渐 上升到开始稳定的过程 Wd-Wc=E2-E10 稳定运行原动件速度保持常数或 在正常工作速度的平均 值上下作周期性的速度 波动Wd-Wc=E2-E1=0停 车原动件速度从正常工作 速度值下降到零 Wd-Wc=E2-E10三个运转阶段的特征机械的等效动力学模型v目的：通过建立外力与运动参数间的函 数表达式，研究机械系统的真实运动。v原则：使系统转化前后的动力学效果保 持不变。等效构件的动能，应等于整个系统的总动 能等效构件上所做的功，应等于整个系统所 做功之和。等效力矩：Me 等效转动惯量：Je等效力：Fe 等效质量：me等效动力学模型功率和不变等效力 等效力矩等效量的计算力与力矩等效力矩是一个假想力矩；等效力矩为正，是等效驱动力矩，反之，为等效 阻力矩；等效力矩不仅与外力（矩）有关，而且与各构件 相对于等效构件的速度比有关；等效力矩的特征动能不变等效质量 等效转动惯量等效量的计算质量与惯量等效转动惯量是一个假想转动惯量；等效转动惯量不仅与各构件质量和转动惯量有关， 而且与各构件相对于等效构件的速度比平方有关；等效转动惯量的特征能量形式方程式机械运动方程式的建立与求解力矩形式方程式机械运动方程式的建立与求解龙门起重机运动控制问题起重机系统的物理抽象模型起重机广泛的用于现代工厂，安装工地和集装箱货场以及室内外 仓库的装卸与运输作业。但是由于吊车采用柔性体代替刚体工作，带 来负载摆动的负面影响，故需要研究吊车的防摆控制。1 问题提出系统建模实例龙门起重机运动控制问题拉格朗日分析力学小车和重 物的位置小车和重物 的速度分量2 建模机理3 系统建模系统建模实例龙门起重机运动控制问题系统拉格朗日方程为：系统的动能：系统建模实例龙门起重机运动控制问题吊车系统的运动方程：不考虑绳长的变化时， ， ：系统建模实例4 模型简化龙门起重机运动控制问题考虑到实际吊车运行过程中摆动角较小(不超过 ) ，且平衡位置 为 ,有如下近似 ，忽略摆动阻尼，则拉氏变换得定摆长龙门吊车运动系统动态结构图 系统建模实例龙门起重机运动控制问题5 模型验证 模型封装系统建模实例龙门起重机运动控制问题 模型验证假定吊车在零 状态初始条件 下，突加一有 限恒定作用力 系统建模实例