凌波微步- 数学建模融入基础课程教学数学建模主要思想利用数学知识解决问题实际问题 -建模 数学模型i求解 实际解 检验- 数学解 咏数学建模数学精微何处寻,纷纭世界有模型 . 描摹万象得神韵,识破玄机算古今 . 岂是空文无实效,能生妙策济苍生 . 经天纬地展身手,七十二行任纵横 .将数学建模思想引入基础 课程教学（一）利用基础课知识建立模型 解决问题: (1)来自现实生活的实际问 题 (2)数学自身发展提出的问 题将数学建模思想引入基础 课程教学（二）从问题出发建立数学模型解决“发明”出基础课程的知识 -人类的旧知识,学生的新知 识凌波微步 = 数学建模 数学建模主要思想 实际问题 -建模 数学模型i求解 实际解 检验- 数学解 难以解决 -转化 容易解决 凌波微步:打不赢就跑-转化 跑到打得赢的地方再打2018/7/18润物细无声：应用案例 随风潜入夜:概念的引入方程个数的真与假方程组 有几个方程 ？3个? 2个? 某个方程是其余方程的线性组合 线性相关问题：怎样判断a, b, g线性无关？ 分别解三个方程？ xa+y b= g, x a+y g = b, x b+y g =a 只须解一个方程 xa+ yb+ zg = 0看它是否有非零解 线性相关与线性无关 “打假”到底:极大无关组,秩 方程组线性相关 有多余的方程（是其余方程的线性 组合） 删去多余的方程 - 打假 将打假进行到底 极大线性无关组 剩下的方程的个数- 秩rank 极大线性无关组，秩问题：秩的唯一性 方程组(A1, A2 , A3) 与(B1, B2) 互为线性组 合 A1 = a11B1 + a12B2 A2 = a21B1 + a22B2 A3 = a31B1 + a32 B2 x1 A1+x2 A2+ x3 A3=0 : 未知数个数方程个数 有非零解 (x1,x2,x3) A1, A2, A3 线性相关. 方程可以换成任意对象,只要仍有加法和数乘 且满足运算律,证明仍成立 抽象向量空间二元一次方程组的几何意义行列式的定义方程组可写成向量形式即1. 有唯一解的条件不共线即2. 消元: 方程(1.1)两边与(1.1 )作内积消去y, 得其中就是同理得图2因此,于是3. 二阶行列式 平行四边形面积称为二阶行列式, 记作是平行四边形 OAPB 的有向面积,是两个向量或的函数,计算公式:或图24. 代数算法可写成其中三阶行列式与体积1. 三元一次方程组的几何意义两边同时与方程作内积消去 y, z , 得到类似地可以得到 y, z 的表达式。当时得从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使则就是以OA,OB,OC为棱的平行六面 体的有向体积。称为三阶行列式，记作2. 三阶行列式 平行六面体体积利用基本性质计算 n 阶行列式(3.1)当 i1,i2,in 中有两个相等时，这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2, in 两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1,2,n 的全体排列 (i1,i2, in ) 求和, 成为:几何模型 线性变换前后的图形2018/7/18向量方向的变化2018/7/18选取特征向量为基2018/7/18数模赛案例. 足球队排名根据足球比赛成绩给出各队实力名次X1 Xj XnX1 a1j a1n Xi ai1 aij ain Xn an1 anj ain 根据对手实力对得分加权先验实力比： x1 , ,xj ,xn后验实力比： y1 , ,yj ,yny1 = a11x1 + + a1j xj + + a1nxn yi = ai1x1 + + aij xj + + ainxn yn = an1x1 + + anj xj + + annxn Y = AX = lX , X 是特征向量 线性代数空间为体, 矩阵为用 研究对象-几何：线性空间(向量) 研究工具-代数：矩阵运算 向量 (问题) 矩阵语言描述 矩阵运算解决 向量(解答) 与微积分的关系: 非线性 -微积分 线性 -线性代数 多元微积分：线性代数模型 微积分基本思想 : 非线性线性 复合函数的导数:2018/7/18 隐函数存在定理 F(x,y) 在某点P0可微 何时由 F(x,y)=0 确定 y=f(x)? 一般F不好解决凌波微步 线性化: aDx+bDy 0, y=f(x) 在 x0 可微,导数为2018/7/18 隐函数存在定理严格证明 F(x,y)=0. 将F(x,y)线性化得: aDx+bDy +d(Dx,Dy)=0 解得Dy =f(Dx,Dy)= Dx+d(Dx,Dy) 迭代: Dy0=0, Dyn= Dx+d(Dx,Dyn-1). 则 Dyn -Dyn-1= dy (Dyn-1-Dyn-2 ) 选 Dx,Dy 的范围充分小,可使|dy| 2. n个x细分成 (nx/(n+1)n+1 (1+1/(n-1) n-1 x = e 时肯定满足。匀速圆周运动三角函数导数质点绕原点做匀速圆周运动角速度 w, 半径 R=1时刻 t: 位置 P(coswt, sinwt)速度向量 v 大小为 w , 方向可由x轴旋转 wt+p/2 得到,坐标 (wcos(wt+p/2), wsin(wt+p/2)= (-wsinwt, wcos wt) (sinwt)= wcos wt, (cos wt)= - wsinwtwtsinwtPwt+p/2wvxO定积分的物理模型:求路程 已知速度 v(t) (t a,b) 求路程 匀速: v(t) = k(常数), 路程 s = kDt = k(b-a) 变速: 分段看成匀速求路程: 短路程 即时速度短时间 大路程 i短路程 i v(ti) Dti s =ab v(t) dt几何模型：求面积 时间段a,b内的路程 s = 区间a,b上速度函数曲线 v=v(t) 与横轴所围面积 S(a,b) . 数学实验: 通过求单位圆面积算ptsabv(t)vtabv v(t)=ks=k(b-a)OO微积分基本定理 数学聊斋(生活中模型)： 飞檐走壁之电影 实现 由路程 s=f(t) 求速度易: v(t) = f(t) 由速度v(t)求路程 s(a,b)=ab v(t) dt 难 倒过来放映: 求位置函数 f(t) 使 f(t) = v(t) 路程 s(a,b) = 位置差Df(t) = f(b)-f(a) . 对 y=f(x), 找 F(x)(原函数)使 F(x)=f(x),则求曲边梯形面积 例. 求曲线 y = xn与 x 轴在区间 0,b上所围面积 S(0,b). 解. 将x看成时刻, y看成速度, 求位置函数 F(x)使 F (x)= xn 则 S(0,b) = F(b)-F(0) . 在求导公式(axn)= naxn-1中 将 n 换成n+1, a换成 知 F(x)= 符合要求. 故 S(0,b)= bn+1Obxyy=xnS(0,b)数学实验: 多项式逼近 sin(x)2018/7/18罗必达法则 发明罗必达法则 例. 求极限 (1) (2) If 分子分母是多项式: 享受幸运!约分! Else,创造幸运: 化成多项式(凌波微步)再约分! Taylor展开,余项估计 f(n+1)(a)=常数, f(n+2)(a)=0 f(x)=a0+a1Dx+an+1(Dx)n+1 (k!)ak=f (k)(a),00 d(x)0, g1(x)f(x)g2(x) f(x)=Sk=0nf(k)(a)(Dx)k/(k!)+l(Dx)n+1/(n+1) !) M1l M2网上资源中科大 http:/www.teach.ustc.edu.cn 精品课程国家级数学实验(2003),线性代数 (2004) 北航 http:/jpk.buaa.edu.cn 精品课程教育部线性代数(非数学类)(2006)高等数学 2008 (郑志明) 联系办法: liszbuaa.edu.cn已出版教材李尚志, 线性代数(数学专业用 ),高等教育出版社,2006.5 参考文献 凌波微步让微积分更简单易学, 大学数学 ，第24卷第3期, p1-12,2008.6。 线性代数(数学专业用), 高教出版社, 2006. 让抽象变得自然-建设国家精品课程的体 会, 中国大学教学, 2006年第7期 线性代数精彩应用案例(之一),大学数学, 2006年第3期 线性代数精彩应用案例(之二),大学数学, 2006年第4期 若当标准形的计算,大学数学,2006年第5期 从问题出发引入线性代数概念,高等数学研 究,2006年第5期,第6期数学聊斋之一 峨嵋山的佛光博比: 长颈鹿 马马 老虎 猫咪狮子 狗狗 黑猩猩 爸爸纠错码: 合法码两两之间差异大 (至少3位)原码: 010011101011传输 错码: 010010101011纠错最接近的合法码之二 指鹿为马之幼儿版数学聊斋之三人挤成照片之维数变化之四飞檐走壁之电影实现之八 足球的圆与方 - 概率沙场百胜古来稀九密一疏已足奇祸福偶然存概率风云多变泄天机 之九 没收非法所得是惩罚吗 ?- 数学期望某件商品卖500元 合法经营: 成本400元，利润100元。 制假卖假：成本100元，利润400元， 非法所得 400-100=300 元。 1. 没收非法所得：-300， 惩罚 = 0 元。 2. 抓假概率 10%：奖励 300/10=20元(次） 3. 假一罚十: 3009 (30010 300)=0 4. 提高抓假概率至20% =假一罚十5. 手机竞赛题之十五 千手观音有多少只手 - 集合的元素个数星移斗转落银河,月印三潭伴碧波。保短保长皆变换,能伸能屈是几何。矩阵与变换2018/7/18代数几何熔一炉乾坤万物坐标书图形百态方程绘变换有规矩阵筹代数与几何2018/7/18平方得负岂荒唐,左转两番朝后方.加减乘除依旧算,方程有解没商量.复数2018/7/18谢谢 ！