Chapter 2(2)Chapter 2(2)连续型随机变量及概率密度连续型随机变量及概率密度教学要求：1. 理解连续型随机变量的概率密度及性质;2. 掌握正态分布、均匀分布和指数分布; 3. 会应用概率密度计算有关事件的概率. 一、连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这 种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.1. 连续型r.v及其密度函数的定义2. 概率密度函数的性质这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.f (x)xo面积为1注意: (1) F(x)为连续函数; (2) 概率为0的事件，不一定是不可能事件；同样地概率为1的事件，不一定是必然事件. (3) 对于连续型随机变量，求区间上的概率时可以不考虑端点的情况，而离散型随机变量得特别注意. (4) 可由分布函数求分布密度，对于 不存在的点可人为的补充定义. ex1.设X的分布函数为求X的分布密度解而端点处情况可人为规定. ex2.设随机变量X的密度函数为解二、几种常用的连续型分布 1. 均匀分布 若 r.vX的概率密度为：则称X服从区间( a, b)上的均匀分布，记作： X U(a, b)它的实际背景是： r.v X 取值在区间(a, b) 上，并且 取值在(a, b)中任意小区间内的概率与这个小区间的 长度成正比. 则 X 具有(a,b)上的均匀分布.其分布函数为: 2. 指数分布 若 r.vX的概率密度为：其分布函数为: 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.ex4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服从指数分布，其密度函数为 某顾客等待时间超过10分钟，他就离开.一个月他去银 行5次.以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数， 写出X的分布律并求 解以Y表示顾客在某银行的窗口等待服务的时间， 则顾客未等到服务而离去的概率为 三、正态分布 1. 正态分布的定义 如果连续型随机变量X的概率密度为 称X服从标准正态分布.2. 正态分布的分布函数 由于 是概率密度函数，因此 . 从而,有 上述两个式子请熟练掌握，它在以后的计算中经常用到3. 正态分布的简单性质 证另外还有几个重要公式：证注意用于利用标准正态分布表计算事件的概率.(9) 分布密度函数图形中,越大,曲线越平坦;越小,曲线越尖陡. 4. 分位点 说明: 解同理, 可见, 服从正态分布 的随机变量X，虽然理论上可以 取任意实数值，但实际上它的取值落在区间 内的概 率约为68.26 %;落在区间 内的概率约为95.44 %,落 在区间 内的概率99.74%.因此,服从正态分布 的随机变量X落在区间 之外的概率约0.26%,还不到 千分之三，这是一个小概率事件，在实际中认为它几乎不可 能发生，这就是著名的“ ”准则它在实际中常用来作为质 量控制的依据在自然现象和社会现象中, 大量的随机变量都服从或近似 服从正态分布，如，测量误差、炮弹落点距目标的偏差、海 洋波浪的高度、一个地区的男性成年人的身高及体重、考试 的成绩等正是由于生活中大量的随机变量服从或近似服从 正态分布，因此，正态分布在理论与实践中都占据着特别重 要的地位解四、注意事项及课堂练习 注意区别以下概念： 离散型：概率分布、分布律 连续型：概率密度、分布密度、密度函数 The end