材料力学六. 弯曲应力第六章 弯曲应力现已知梁的内力，怎样校核梁的强度、刚度或梁的 承载能力？需要求解梁内的应力分布规律，这就是本章的任务 。MM材料力学六. 弯曲应力xxMMxA LBabP如梁截面上正应力分布规律与弯矩的关系材料力学六. 弯曲应力LaaFFF(+)(-) -FFa(+)M-图纯弯曲梁弯曲变形时， 横截面上只有弯矩而无 剪力（ ）。横力弯曲梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩 又有剪力（ ）纯弯曲横力 弯曲横力 弯曲6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力应力分布应力公式变形分析应变分布平面假设本构方程静力方程6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力已知内力，求解应力的分布规律以内力表示的 应力分布规律材料力学六. 弯曲应力 正应力分析的一般步骤4. 材料本构关系：由应变分布确定应力分布6. 正应力表达式：应力与内力及梁截面特性的关系3. 变形特点分析：平面假定与变形协调方程5. 截面平衡分析：应用静力学方程确定待定常数1. 外力分析：确定约束反力2. 内力分析：求解弯矩和剪力分布平衡条件几何条件物理条件6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力1、研究对象：等直、细长、对称截面梁2、基本假设:(a) 小变形在弹性变形范围内， (b) 满足平面弯曲条件， (c) 纯弯曲。从变形特点分析，到材料本构关系，到静力平衡细长梁：长度比其高度大许多倍的梁，一般来讲长高比 L/h 20有关细长梁的理论：经典梁理论，或叫 Euler-Bernoulli 梁理论6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力M3、实验观察:MM长度保持 不变的纵向纤维 横截面上只有正应力而无剪应力 纵向纤维间无挤压作用, y = 0沿梁的横截面，有一层纵向纤维其长度保持不变：中性层 轴线的法线(梁的横截面)变形后仍为直线，且仍垂直于轴线凹边缩短凸边伸长6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力中性层杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不缩短的曲面。中性轴中性层与横截面的交线。中性轴中性层中性轴6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力4、平面截面假设梁的横截面变形后保持为平面， 只是绕中性轴旋转了一定的角度 。 忽略横截面在其面内产生的变形； 忽略纵向线间的挤压。中性层中性层与截面交 线实际 变形中性轴中性层简化 变形6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力=/梁横截面的变形为:oba梁沿轴线的变形:6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力5、理论分析 （1）变形分布规律mmnndxaby变形后O 曲率中心， y 任意纵向纤维至中性层的距离 中性层 的曲率半径，纵向纤维 ab: 变形前 变形后 两截面的曲率半径间的夹角obaxy6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力所以纵向纤维 ab 的应变为:横截面上距中性轴距离为 y 处的纤维轴向变形规律。则则实验验证: 分析所得结论与实验结果相符。曲率曲率当 y = 0 时， = 0 oba(a)6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力（2）应力分布规律 在线弹性范围内，应用虎克定律及在一截面上，即：横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离 y 成比例。应力为零的点的连线M对给定材料 E 为常数，=0s 当 y = 0 时.,maxmaxss=时yy(b)6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力（3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式z (中性轴)y (对称轴)MM dAdAx梁横截面上的正应力 组成一个空间力系。 现求它的合力。ICFxyFxx FxzMxyMxzMxxxyzFMc静力平衡条件自动满足。因纯弯曲下，梁截面上只有x-方向的应力，故6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力（3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式因此 z -轴通过截面形心， 即,中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。(c)由 得= 0将 (b) 式代入，得z (中性轴)MM dAdAx6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力考虑平衡条件即：y -轴，z -轴为截面的形心主惯性轴zyxMdAdA(d)（3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生平面弯曲， 亦必须满足 。即 y、z 轴为截面的形心主惯性轴。 所以只要外力作用在形心主惯性平面内同样可产生平面弯曲。中性轴的特点：平面弯曲时梁横截面上的中性轴一定是形心主轴，它与外力 作用面垂直，即中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力zyxMdAdA材料力学六. 弯曲应力考虑截面平衡条件为截面对中性轴的惯性矩。(e)6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力zyxMdAdA材料力学六. 弯曲应力最后可得到梁轴线的挠曲线曲率方程： 为常数，挠曲线是一条圆弧线抗弯刚度。梁的正应力的计算公式为梁横截面上最大正应力为6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力截面的抗弯截面模量，反映了截面的几何形状、尺寸对梁强度的影响 。矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：zz立放：bhhb平放：若h b, 则 。6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力zddzD6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：圆形截面对中性轴的惯性矩与圆形截面对中性轴的极惯性矩的关系材料力学六. 弯曲应力由纯弯曲推导得到的结果可推广到横力弯曲的梁：(b) 对 R/h50 的曲率梁，可使用直梁公式。非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：正应力计算公式为(a) 横力弯曲的细长梁，即梁的长高比: L/h 20 时， 其误差不大；6.2 梁横截面上的正应力材料力学六. 弯曲应力注意 ：（1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截面上的正 应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩； 以及所求的是该截面上哪一点的正应力，并确定该点到中性轴 的距离。（2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律， 在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力最大。6.2 梁横截面上的正应力（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正负号（ 拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来确定。（4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式 。材料力学六. 弯曲应力可解决三方面问题：（1）校核强度，即已知 检验梁是否安全；（2）设计截面，即已知 可由 确定截面的尺寸；（3）求许可载荷，即已知 可由 确定最大载荷。6.3 弯曲正应力强度条件材料力学六. 弯曲应力L= 4mABq=0.5KN/m例6-1 一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面的内外径之比 ，试选择截面直径 D；若外径 D 增加一倍，比值 不变，则载荷 q 可增加到多大？(+)6.3 弯曲正应力强度条件dzD材料力学六. 弯曲应力解：由强度条件若外径 D增加一倍，则 仍由强度条件，得6.3 弯曲正应力强度条件(+)材料力学六. 弯曲应力例6-2 已知梁的界面和材料的强度 ，由 M 图知： ，试校核其强度。16281448 解： （1）确定中性轴的位置zCz单位：cm6.3 弯曲正应力强度条件材料力学六. 弯曲应力（3）正应力校核所以结构安全。问题：若材料为铸铁，截面这样放置是否合理？（2）计算16281448zCz6.3 弯曲正应力强度条件材料力学六. 弯曲应力对于T字形截面，则对于低碳钢等材料，因此只需计算对于铸铁材料，z或 t c 因此需分别计算材料力学六. 弯曲应力铁道的枕木放在路基上。已知铁轨对枕木的作用力 为 F = 175KN，枕木的尺寸为 L = 1.5m，a = 0.5m， b = 0.3m, h = 0.25m，试计算枕木内的最大法向应力。问 题 地基材料力学六. 弯曲应力解：解题步骤一， 建立给定问题的力学模型（简化） 解题方法路基对枕木的支撑相当于均布载荷, 铁轨对枕木的作用力 F 可当做支座力。故此铁道枕木相当于外伸梁受分布载荷的作 用，其受力模型如下图。材料力学六. 弯曲应力F = 175KN, L = 1.500 m, a = 500 mm =0.5 m步骤二，作弯矩图由得1.求分布力2.画弯矩图22 +=aLFq= (350/2.5) KN/m材料力学六. 弯曲应力M1 = 17.5 Nm M2 = 21.875 Nm MMax = 21.875 Nm步骤三, 确定最大弯矩材料力学六. 弯曲应力根据弯矩图计算最大应力步骤四，求枕木内的最大法向应力计算抗弯模量332 m10125. 36-x=bhWzb = 300mm， h = 250mm由得材料力学六. 弯曲应力n此题的关键在于建立枕木的受力图，即如何对枕 木的受力进行模型化。有了枕木受力图，应力计 算就应刃而解了。小 结材料力学六. 弯曲应力 在有剪应力存在的情形下，弯曲正应力公式依然适用 剪应力方向与剪力的方向相同，并沿截面宽度方向 切应力均匀分布（对于狭长的矩形截面适用） 在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的切应力，而无 须应用“平衡，变形协调和本构关系”。假 设6.4 弯曲时的剪应力MM材料力学六. 弯曲应力yzFQbh6.4 弯曲时的剪应力已知截面上的剪力 FQ，求对应的剪应力 。材料力学六. 弯曲应力现在，求距 A 端为 x 的截面上的剪应力分布，我们 用相距为 dx 的微段来研究。FQMFQM+dMyP1P2q(x)AB xdxmmnnmmnndxmmnndx材料力学六. 弯曲应力（一）矩形截面LABF(+)(-)bh分析方法（截面法）： 1、沿 mm, nn 截面截开，取微段 dx。mmnndxmmnnMM+dMmmnnkl(+)材料力学六. 弯曲应力mnkl2、沿 kl 面截开，根据剪应力的互等定理：dx 很小，在 kl 面上可认为 均布。3、列平衡方程，由 ：即6.4 弯曲时的剪应力材料力学六. 弯曲应力而代入得：6.4 弯曲时的剪应力材料力学六. 弯曲应力bhz（儒拉夫斯基公式）式中符号意义：截面上距中性轴 y 处的剪应力：y 以外面积对中性轴的静矩：整个截面对中性轴的惯性矩b：y 处的宽度y对于矩形：c6.4 弯曲时的剪应力材料力学六. 弯曲应力而因此矩形截面梁横截面上的剪应力的大小沿着梁的高度按抛物线规律分布。并且6.4 弯曲时的剪应力材料力学六. 弯曲应力实心截面梁的弯曲切应力误差分析h hb b精确解 = =FQ Sz*bIz h/b 1.01.02/12/11.041.041/11/11.121.121/21/21.571.571/41/42.302.306.4 弯曲时的剪应力材料力学六. 弯曲应力（二）工字形截面梁的弯曲切应力翼缘1、腹板z腹板式中 (y)：截面上距中性轴 y 处的剪应力：y 处横线一侧的部分面积 对中性轴的静矩：整个截面对中性轴的惯性矩